Глава 9. ПОРЯДКОВЫЕ СТАТИСТИКИ, ПУАССОНОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

В этой главе приводятся различные специальные приложения некоторых методов, связанных с пуассоновскими процессами и суммами независимых случайных величин.

§ 1. ПОРЯДКОВЫЕ СТАТИСТИКИ И ИХ СВЯЗЬ С ПУАССОНОВСКИМИ ПРОЦЕССАМИ

Пусть суть независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих непрерывную строго возрастающую функцию распределения Определим случайные величины следующим образом:

есть в порядке возрастания величина среди В частности,

Очевидно,

называется порядковой статистикой выборки , а набор — множеством порядковых статистик объема соответствующих выборке

В этой главе рассматриваются распределения порядковых статистик выборок, их связь с пуассоновскими процессами и другие приложения. Сначала, однако, сделаем существенное упрощение без потери общности.

Положим

и найдем распределение величины

где функция, обратная к определена единственным образом в силу сделанных предположений относительно Далее, поскольку то

Таким образом, в силу (1.1) и распределена равномерно на [0,1] при всех и независимо от вида непрерывной строго возрастающей функции Заметим, что отношение порядка среди сохраняется при преобразовании Это означает, что вместо исследования порядковых статистик соответствующих выборке общего вида можно изучать порядковые статистики для равномерного на отрезке. распределения.

Поэтому в дальнейшем мы ограничимся изучением порядковых статистик

для выборки независимых равномерно распределенных на отрезке [0,1] случайных величин

Тот факт, что для случайных величин выполняется (1.3), ясно указывает, то они не являются независимыми. Мы сначала найдем совместное распределение порядковых статистик или, вернее, его функцию плотности, которую обозначим через Ее существование будет очевидно из доказательства. Выбирая и достаточно малые приращения так, чтобы интервалы не пересекались, получаем

здесь использовались независимость, равномерное распределение величин и тот факт, что число всевозможных перестановок индексов равно

Из (1.4) следует, что совместная плотность порядковых статистик равна

Такое же доказательство показывает, что если бы величины были взяты из равномерного распределения на отрезке то соответствующая совместная плотность порядковых статистик равнялась бы

Мы уже сталкивались с плотностью (1.5) при обсуждении пуассоновских процессов (см. стр. 206). Именно: пусть пуассоновский процесс, в частности, при каждом пусть будет дискретной случайной величиной с распределением

где фиксированный действительный параметр.

Предположим, что Тогда при условии, что (целое число), на отрезке [0, 1] будет ровно временных точек, в которых совершает «скачок». Точное положение этих точек зависит от случая и определяется случайными величинами

со значениями из отрезка [0, 1].

Утверждается следующее. При условии

случайные величины распределены как множество порядковых статистик объема взятых из равномерного распределения на отрезке [0, 1].

Доказательство этого положения непосредственно вытекает из уже полученных результатов. Действительно, вывод условной плотности распределения величий при условии, что был дан в теореме 2.3 гл. 7. Сравнение с (1.5) показывает, что эти формулы совпадают, и утверждение, таким образом, доказано.

Соответствие между порядковыми статистиками и условными моментами наступления событий пуассоновских процессов упрощает вывод других свойств порядковых статистик.

Например, пусть, как и ранее, порядковые статистики выборки объема из равномерного распределения. Мы утверждаем, что совместное распределение величин при условии, что совпадает с распределением порядковых статистик для выборки где каждая д. с. в. равномерно распределена на Чтобы проверить этот факт, переформулируем задачу в терминах событий пуассоиовского процесса.

Пусть — моменты наступления событий пуассоиовского процесса при условии, что Предположим, что налагаются дополнительные условия и требуется определить совместное распределение величин Так как -процесс с независимыми приращениями, то очевидно, что если сделано предположение или, что эквивалентно, (где и достаточно мало), то вся информация, относящаяся к величинам содержится в этом предположении. Но при этом условии распределены как порядковые статистики выборки объема из равномерного распределения на отрезке Таким образом, условное совместное распределение величин при условии совпадает с совместным распределением порядковых статистик объема взятых из равномерного распределения на отрезке Соответствующая условная плотность равна

В точности таким же образом можно доказать, что условная плотность величин при условии, что значения первых порядковых статистик равны

совпадает с совместной плотностью порядковых статистик выборки из независимых случайных величин, распределенных на отрезке :

Формулы (1.7) и (1.8) показывают, что эти совместные условные плотности зависят лишь от и не зависят от соответственно. Это означает, что совместные плотности величин при одном и том же единственном условии имеют соответственно вид

и

Формулы (1.7) и (1.8) совместно с (1.9) и (1.10) также показывают, что множества величин (условно) независимы при условии, что

Более того, два множества случайных величин условно независимы при известных значениях остальных величин

Пользуясь этим, можно получить совместную плотность для любого числа последовательных порядковых статистик. Так, совместная плотность величин при условии, что равна

С другой стороны, в силу вышеприведенного утверждения о независимости левая часть равна

Отсюда, а также из (1.11) и (1.5) получаем для

В частности, (1.12) при дает маргинальную (частную) плотность величины

которая является плотностью бета-распределения.

Порядковые статистики делят интервал на непересекающихся интервалов, имеющих длины

Очевидно, не являются независимыми случайными величинами, поскольку Записывая преобразование переменных в

и вычисляя якобиан этого преобразования, который в данном случае равен тождественно 1, можно найти совместную плотность случайных величин Именно

Таким образом, можно сказать, что случайные величины распределены равномерно в области

Это также определяет распределение случайных величин в области

Покажем теперь, что совместное распределение величин совпадает с распределением величин

где независимые экспоненциально распределенные случайные величины (с параметром X). Этот результат может быть доказан с помощью введения пуассоиовского процесса и анализа задачи в новых терминах. Для разнообразия дадим прямое доказательство. Для этого запишем совместную плотность величин

и сделаем преобразование

Обратное преобразование имеет вид

Отсюда можно найти якобиан

Следовательно, совместная плотность величин

равна

Отсюда следует, что и случайный вектор независимы и имеют следующие маргинальные плотности:

и

Поскольку (1.16) согласуется с (1.15) и поскольку

утверждение о равенстве распределений величин

доказано.