§ 6. ЕЩЕ ОДИН ПРИМЕР ИЗ ТЕОРИИ ОЧЕРЕДЕЙ

Состоянием процесса, как и ранее, является длина очереди; за каждую единицу времени прибывает одна заявка, а обслуживается заявок в соответствии с распределением если в очереди столько заявок окажется. Матрица переходных вероятностей, как нетрудно убедиться, в этом случае имеет вид

Мы покажем, что если то существует стационарное распределение, так что в этом случае процесс возвратный положительный. Так как есть среднее число обслуживаемых за период заявок, тогда как за это же время поступает только одна заявка, то существование стационарного распределения при указанном условии не является неожиданным.

Рассмотрим уравнения и положим Тогда

откуда заменой индекса суммирования получаем

Если удовлетворяет этому уравнению, то для получаем

т. е. уравнение удовлетворяется и для

Рассмотрим производящую функцию Так как то при условии существует точка такая, что (см. рис. 4). Величины , сумма которых равна 1, представляют собой стационарное распределение вероятностей исследуемой марковской цепи. В частности, финальная вероятность отсутствия очереди равна

Система уравнений совпадает с системой из предыдущего примера. Как мы видели,

-процесс является возвратным, если В этом случае последняя система не имеет ограниченного непостоянного решения. Следовательно, если то система не имеет ограниченного непостоянного решения, и поэтому, в частности, не существует стационарного распределения и процесс является либо возвратным нулевым, либо невозвратным.

Рис. 4.

Мы докажем сейчас, что система

имеет непостоянное ограниченное решение тогда и только тогда, когда Следовательно, процесс является невозвратным тогда и только тогда, когда и возвратным нулевым, когда Так как любая последовательность с одинаковыми членами удовлетворяет системе (6.1), мы можем считать, Тогда (6.1) сводится к уравнениям

Умножая уравнение на суммируя и пользуясь формулой для преобразования свертки, получаем

при условии, что В (6.2) мы положили

Так как то для некоторого такого, что если Следовательно, не может иметь ограниченных коэффициентов в этом случае, так как это означало бы, что сходится для каждого Таким образом, если то процесс возвратен.

Из строгой выпуклости функции т. е. из того факта, что следует, что при если (см. рис. 5). При условии 21 имеем:

где

и

Тогда

т. е.

Далее, следующие условия эквивалентны:

так как есть сходящийся ряд типа геометрической прогрессии.

Рис. 5.

Ясно, что так что будучи разложенной в степенной ряд, имеет ограниченные коэффициенты тогда и только тогда, когда Поэтому если можно взять и получить ограниченное непостоянное решение уравнений (6.1),

прследодателвдо возвращаясь к уравнению (6.2) и приравнивая коэффициенты. Это озмчает, что процесс невозвратный. Если любое решение системы (6.1) с необходимостью неограничено, откуда следует, что в этом случае процесс возвратен. Итак,