Г. Характеристические функции

С каждой функцией распределения связана важная функция называемая характеристической. По определению имеем

Пока читатель может интерпретировать запись интеграла в правой части как символическую. Если имеет плотность вероятности то характеристическая функция представима в виде

Если распределение д. с. в. X со счетным множеством возможных значений то

правая часть (1.1) сводится к ряду

Весьма полезным фактом является следующее легко доказываемое утверждение: если семейство независимых д. с. в., то характеристическая функция их суммы представляет собой произведение характеристических функций этих д. с. в.

Соответствие между функциями распределения и характеристическими функциями — взаимно однозначное. Представление функции распределения через ее характеристическую функцию известно как формула обращения Леви. Поскольку она нам в дальнейшем не понадобится, мы рекомендуем интересующемуся читателю обратиться к литературе, где эти вопросы рассматриваются подробно.

Взаимно однозначное соответствие между функциями распределения и характеристическими функциями сохраняется и при различных предельных переходах. В частности, если функции распределения, такие, что для всех X, где непрерывна, и -характеристические функции членов последовательности то

равномерно в каждом конечном интервале. Обратно, если характеристические функции членов некоторой последовательности функций распределения и для любого непрерывна в точке то является характеристической функцией функции распределения для любого X, где непрерывна. Этот результат известен под названием критерия сходимости Леви.