§ 2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПУАССОНОВСКИХ ПРОЦЕССАХ

В предыдущем параграфе мы определили пуассоновский процесс системой допущений (постулатов), которые довольно хорошо описывают многие реальные ситуации. Этот процесс часто называют абсолютно случайным процессом, так как он «распределяет» точки «случайным образом» на прямой совершенно аналогично тому, как распределяются точки при равномерном распределении на конечном интервале. В частности, вероятность наступления события в некотором интервале является функцией лишь его длины, а количества событий, происходящих в двух непересекающихся интервалах, являются независимыми случайными величинами.

Рассмотрим теперь пуассоновский процесс более подробно.

А. Характеристическая функция и длительности пребывания

Характеристическую функцию пуассоновского процесса можно записать в виде

Таким образом,

При обсуждении процесса чистого рождения мы показали, что

и упомянули, что имеет экспоненциальное распределение с параметром и все независимы. Для пуассоновского процесса при всех так что справедлива

Теорема 2.1. Длительности пребывания независимые и одинаково распределенные случайные величины, имеющие экспоненциальное распределение с параметром

Строгое доказательство этой теоремы будет следовать из более общих рассмотрений § 4 гл. 8.

Из определения процесса следует большее, нежели утверждение этой теоремы. Так, время до ближайшего изменения имеет точно такое же распределение, если его отсчитывать от любого момента, а не только от момента предыдущего скачка. Иначе говоря,

что было получено в § 1. Это свойство можно получить и непосредственно. Пусть где некоторый момент времени, зависящий, возможно, от истории процесса до этого момента, значение которого не изменяет данной вероятности. Тогда

Из определения независимости приращений пуассоиовского процесса и того факта (который является исходным предположением при определении пуассоиовского процесса), что

не зависит от получаем функциональное уравнение

То, что это уравнение определяет экспоненциальное распределение, доказывается в следующей теореме.

Теорема 2.2. Если такое распределение, что при некотором то является экспоненциальным тогда и только тогда, когда

Доказательство. То, что экспоненциальное распределение удовлетворяет условиям теоремы, проверяется непосредственно. Чтобы доказать обратное утверждение, положим Тогда условие примет вид

Очевидно, невозрастающая функция и при некотором Предположим, что при некотором Из (2.1) следует, что для всякого целого Следовательно, Но тогда из (2.1) следует, что при Так как произвольно, то при всех что противоречит сделанному предположению. Таким

образом, при всех Далее, для любых целых из (2.1) легко вывести, что Так как невозрастающие функции, совпадающие при всех рациональных непрерывна, то отсюда следует, что

при всех Но функция распределения, поэтому

откуда Следовательно, где

Другое доказательство в предположении, что дифференцируема, следующее. Заметим, что из (2.1) получается

и, следовательно,

где при некотором таком, что Решением уравнения (2.2) является поскольку Параметр а отрицателен, так как при некотором

Б. Равномерное распределение

Класс распределений, связанных с пуассоновским процессом, не ограничивается пуассоновским и экспоненциальным распределениями. Мы покажем сейчас, что возникают также равномерное и биномиальное распределения.

Рассмотрим моменты времени когда происходят изменения т. е.

Имеем следующий результат.

Теорема 2.3. Для любых чисел

что является распределением порядковых статистик из выборки объема взятой из равномерного распределения на

Доказательство. Доказательство является простым следствием теоремы 2.1. Действительно,

Если ввести новые переменные

то последнее выражение примет вид

Но

Следовательно,

В. Биномиальное распределение

Из свойств пуассоиовского процесса следует, что при и

Второй пример, в котором играет роль биномиальное распределение, можно получить, рассматривая два независимых пуассо-новских процесса с параметрами Именно: