Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯСледующая лемма представляет интерес сама по себе и будет использована при нахождении предельного распределения для эмпирических функций распределения. Лемма 4.1. Пусть
и что Пусть Доказательство. Пусть
то Очевидно, частичные суммы взятых по порядку (начиная с первой) компонент вектора
Эта последовательность статистически эквивалентна следующей:
Пусть теперь
— единственная перестановка
Такая перестановка действительно существует (и единственна), поскольку все Число положительных членов в последовательности (4.2) (или, что то же, в последовательности
поскольку это попросту перестановка (4.2). Далее, для любого
Тогда Эта лемма имеет геометрическую интерпретацию. Отвлечемся от предположения Точно таким же образом можно получить суммарные полигоны векторов Далее, вектор с компонентами
очевидно, удовлетворяет условиям леммы, включая и требование того, чтобы
Рис. 6. В частности, для случая В заключение главы укажем на применение леммы 4.1 к анализу некоторых д. с. в., связанных с эмпирическими функциями распределения. Пусть, как обычно,
(рис. 7). Для реализации, показанной на рисунке, Определим
Величина Наша цель в данном параграфе — определить закон распределения величин
Рис. 7, Замечательным результатом является то, что при любом Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим пуассоновский процесс
где
— независимые и одинаково распределенные по закону Пуассона случайные величины. Обозначим эти приращения через
которые, очевидно, независимы и одинаково распределены. Образуем последовательность частичных сумм
и заметим, что
В самом деле, из равенства Но этого не может быть в силу предположения о том, что Аналогично можно показать, что Пусть
Для последовательности
Если
где постоянные Первое из неравенств (4.8) доказывается следующимобразом. Если
и если
Поскольку
Но величина Теорема 4.1. Пусть
ЗАДАЧИ(см. скан) (см. скан) (см. скан) (см. скан) (см. скан) (см. скан) (см. скан) (см. скан) (см. скан) (см. скан) ЗАМЕЧАНИЯВ этой главе мы придерживаемся точки зрения Реньи [1] на порядковые статистики и пуассоновские процессы. Комбинаторные методы, примененные во второй половине главы, в основном базируются на работе Такача, которая пока еще не вышла в виде книги. Подробное обсуждение порядковых статистик с точки зрения классической статистики можно найти в книге Уилкса [2]. См. также приводимые там ссылки. ЛИТЕРАТУРА(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|