§ 4. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Следующая лемма представляет интерес сама по себе и будет использована при нахождении предельного распределения для эмпирических функций распределения.

Лемма 4.1. Пусть -вектор в -мерном евклидовом пространстве. Предположим, что

и что

Пусть и пусть циклическая перестановка компонент вектора Тогда для любого существует ровно один из векторов такой, что среди частичных сумм его компонент (взятых по порядку, начиная с первой) в точности сумм положительны.

Доказательство. Пусть Тогда все различны, поскольку если

то что противоречит сделанным предположениям.

Очевидно, частичные суммы взятых по порядку (начиная с первой) компонент вектора равны

Эта последовательность статистически эквивалентна следующей:

Пусть теперь

— единственная перестановка для которой

Такая перестановка действительно существует (и единственна), поскольку все различны.

Число положительных членов в последовательности (4.2) (или, что то же, в последовательности совпадает с числом положительных членов в последовательности

поскольку это попросту перестановка (4.2). Далее, для любого будет существовать ровно одно число такое, что в точности членов в (4.3) (а следовательно, и в будут положительны. Чтобы показать это, достаточно выбрать так, чтобы

Тогда ,

Эта лемма имеет геометрическую интерпретацию. Отвлечемся от предположения Отметим точки на плоскости в декартовой системе координат. Соединим соседние точки отрезками прямых, как показано на рис. 6. Получившаяся ломаная называется суммарным полигоном вектора

Точно таким же образом можно получить суммарные полигоны векторов компоненты которых являются циклическими перестановками компонент вектора х. Отрезок прямой, соединяющий точки (0,0) и называется хордой суммарного полигона. Рассмотрим точку пересечения этой хорды с вертикальной прямой, проходящей через точку Из элементарных геометрических соображений ясно, что ордината равна Следовательно, расстояние по вертикали от точки до хорды полигона равно

Далее, вектор с компонентами

очевидно, удовлетворяет условиям леммы, включая и требование того, чтобы частичная сумма была равна нулю. Лемма утверждает, что среди суммарных полигонов, соответствующих циклическим перестановкам вектора х, для любого существует ровно один, у которого в точности вершин находятся выше хорды.

Рис. 6.

В частности, для случая нужно взять циклическую перестановку, начинающуюся с номера где индекс, при котором достигается Случай соответствует номеру где индекс, при котором достигается , и т. д.

В заключение главы укажем на применение леммы 4.1 к анализу некоторых д. с. в., связанных с эмпирическими функциями распределения. Пусть, как обычно, эмпирическая функция распределения, построенная по выборке объема из равномерного распределения на [0, 1]. Введем две случайные величины Положим

(рис. 7). Для реализации, показанной на рисунке, равна сумме длин всех отрезков, отмеченных жирной линией.

Определим

Величина обычно называемая односторонней статистикой Колмогорова — Смирнова, является важной характеристикой наблюдения, используемой в статистических тестах при решении, принадлежит ли исследуемая выборка заданному равномерному распределению.

Наша цель в данном параграфе — определить закон распределения величин

Рис. 7,

Замечательным результатом является то, что при любом любая из этих величин распределена равномерно на отрезке [0, 1].

Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим пуассоновский процесс с параметром 1. Далее, разделим интервал на частей:

где простое число, большее (Причина этому будет ясна из дальнейшего.) Приращения

— независимые и одинаково распределенные по закону Пуассона случайные величины. Обозначим эти приращения через

соответственно и определим случайные величины

которые, очевидно, независимы и одинаково распределены. Образуем последовательность частичных сумм

и заметим, что

В самом деле, из равенства следует, что

Но этого не может быть в силу предположения о том, что больше и не делится ни на ни на поскольку простое число. Следовательно, равенство (4.6) доказано.

Аналогично можно показать, что для любых Это означает, что с вероятностью 1 никакая из частичных сумм не равна нулю.

Пусть

Для последовательности выполнены гипотезы леммы 4.1, если Но указанные события имеют вероятность 1. В соответствии с леммой

Если то распределена по закону (Это следует из результатов § 1.) Следовательно, можно определить величины для при условии, что Утверждается, что

где постоянные зависят от но не от

Первое из неравенств (4.8) доказывается следующимобразом.

Если

и если не имеет скачка в интервале то при любом

Поскольку имеет ровно скачков (при условии то существует самое большее интервалов длиной не более каждый, для которых из условия не следует справедливость неравенства

Но величина равна числу положительных умноженному на длину Учитывая сказанное выше, можно заключить, что может отличаться от не более чем на . Таким образом, Аналогично можно получить второе соотношение (4.8). Таким образом, при условии обе абсолютные величины в (4.8) стремятся по вероятности к нулю при Так как распределены асимптотически равномерно на отрезке [0, 1] при стремится к принимая лишь простые значения), это завершает доказательство следующей теоремы.

Теорема 4.1. Пусть эмпирическая функция распределенияпостроенная по выборке объема из равномерного распределения на отрезке [0, 1]. Рассмотрим случайные величины определенные формулами (4.4) и (4.5). Тогда

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ЗАМЕЧАНИЯ

В этой главе мы придерживаемся точки зрения Реньи [1] на порядковые статистики и пуассоновские процессы.

Комбинаторные методы, примененные во второй половине главы, в основном базируются на работе Такача, которая пока еще не вышла в виде книги.

Подробное обсуждение порядковых статистик с точки зрения классической статистики можно найти в книге Уилкса [2]. См. также приводимые там ссылки.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)