§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ

Так же как в случае процесса чистого рождения и пуассоновского процесса, в данном случае переходные вероятности удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, известных как обратные дифференциальные уравнения Колмогорова. Они имеют вид

Начальное условие:

Чтобы вывести их, запишем (4.3) в виде

где последняя сумма берется по всем Используя постулаты получаем

так что

Перенося член в левую часть, деля полученное равенство на и переходя к пределу при получим

Проведенные выкладки являются частным случаем вывода обратных дифференциальных уравнений, который дается в гл. 8, § 2.

Обратные уравнения выводятся с помощью разбиения временного интервала ( где положительно и мало, на два: и и отдельного рассмотрения переходов процесса на каждом из них.

В уравнениях (5.1) начальное состояние является переменным, а конечное — фиксированным параметром.

Другая ситуация возникает при разделении интервала ( на и и применении предыдущего анализа. В этом случае при более жестких условиях можно вывести следующую систему дифференциальных уравнений:

с тем же самым начальным условием Они известны как прямые дифференциальные уравнения Колмогорова. Чтобы проделать это, поменяем местами в (5.2) и при дополнительных предположениях (кроме постулатов 1, 2, 3) можно показать, что последний член снова равен Остальное дословно повторяет предыдущий вывод. Полезность этих дифференциальных уравнений станет очевидной из примеров, которые будут разобраны ниже.

Достаточным условием для справедливости (5.3) является равенство при где член (кроме того, что он стремится к 0) равномерно ограничен по при фиксированном при . В этом случае нетрудно показать, что

Прежде чем переходить к примерам, обсудим кратко поведение при больших Можно доказать, что пределы

существуют, не зависят от начального состояния и удовлетворяют уравнениям

Эти уравнения получаются из (5.3), если приравнять нулю левую часть. Сходимость следует из того, что Если последовательность называется стационарным распределением. Причиной для этого служит то, что удовлетворяют уравнению

которое говорит, что если процесс начинается из состояния с вероятностью то и в любой последующий фиксированный момент времени он будет находиться в состоянии с вероятностью Доказательство (5.6) следует из (4.3) и (5.4), если устремить и использовать то, что Решение уравнений (5.5) получается по индукции. Полагая

получим Предполагая, что при получаем

и, наконец,

Для того чтобы последовательность являлась распределением, нужно, чтобы Если то в этом случае

Если то с необходимостью и все равны нулю. Следовательно, не существует предельного стационарного распределения.