§ 7. ЕЩЕ О ВОЗВРАТНОСТИ
Теорема, которую мы сейчас докажем, утверждает, что если некоторое состояние возвратно, то это состояние с вероятностью 1 встречается в процессе бесконечное число раз. Пусть
Теорема 7.1. Состояние 
возвратно или невозвратно в зависимости от того, 
или 
Доказательство. Положим
Имеет место соотношение
в справедливости которого нетрудно убедиться, представляя событие, фигурирующее в правой части предыдущего соотношения,
в виде суммы несовместных событий, определяемых временем первого возвращения. Последовательно применяя последнюю формулу, получаем
Но, очевидно, 
следовательно,
Поскольку 
то 
или 0 при 
или 
соответственно, или, что эквивалентно, в зависимости от того, является ли состояние 
возвратным или невозвратным.
Теорема 7.2. Если 
и оба состояния принадлежат возвратному классу, то
Мы опускаем простое доказательство этого факта.
Пусть
Из теоремы 7.2 непосредственно вытекает
Следствие 7.1. Если и оба состояния принадлежат возвратному классу, 
Доказательство. Нетрудно видеть, что
Поскольку состояние 
возвратно, то 
по теореме 7.1. По теореме 7.2 имеем 
следовательно, 
ЗАДАЧИ
(см. скан)
(см. скан)
ЗАМЕЧАНИЯ
Некоторые аспекты теории марковских цепей освещены в книге Феллера [1].
Книга Кемени и Снелла [2] содержит много увлекательных примеров марковских цепей, встречающихся в психологии, социологии, экономике, биологии и других областях.
Наиболее полное и глубокое рассмотрение марковских цепей дано в книге Чжун Кайлая [3].
ЛИТЕРАТУРА
(см. скан)
