§ 3. ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ

Мы хотим найти вероятность того, что популяция выродится, т. е. для некоторого Очевидно, если то при всех

Заметим сначала, что вырождения никогда не произойдет, если вероятность того, что индивидуум не порождает ни одного потомка, равна нулю, т. е. если Таким образом, при исследовании вероятности вырождения предположим, что Пусть

В силу формулы (2.3)

Так как строго возрастающая функция (степенной ряд с неотрицательными коэффициентами и то Предположим, что

Тогда Этим доказано, что монотонно возрастающая последовательность, ограниченная единицей. Следовательно, существует

Поскольку непрерывна при (непрерывность в точке следует из леммы Абеля, см. гл. 2, лемма 5.1), полагая в (3.1), получаем

Поскольку вероятность вырождения популяции не позже, чем за поколений, то — вероятность вырождения популяции, и из (3.2) следует, что — корень уравнения

Покажем теперь, что — наименьший положительный корень уравнения (3.3). Пусть — положительный корень уравнения (3.3). Тогда Предположим, что Тогда в силу Таким образом, по индукции показано, что Для всех Отсюда следует, что т. е. — наименьший положительный корень уравнения (3.3).

Теперь предположим, что Тогда выпуклая функция При поскольку Следовательно, график функции может пересекать прямую с наклоном 45°, идущую из начала координат, самое большее в двух точках. Мы знаем, что и поэтому пересечение определенно имеет место в точке (1,1). Очевидно, может иметь место один из двух случаев, представленных на рис. 1 и 2. Если то тангенс угла наклона касательной к графику в точке больше 1 и имеет место случай, представленный на рис. 1. В этом случае Если то тангенс угла наклона касательной в точке меньше или равен 1 и имеет место ситуация, представленная на рис. 2. Тогда с необходимостью Таким образом, мы доказали, что вероятность вырождения равна 1, если и меньше 1, если Другими словами, вырождение определенно имеет место тогда и только тогда, когда среднее число потомков от одного индивидуума не превышает 1.

Далее, заметим, что при (рис. 2). По индукции имеем для всех

(кликните для просмотра скана)

Но , и, таким образом, Пусть Тогда.

В случае когда имеем (рис. 1). По индукции

Отсюда

Предел в (3.4) должен равняться , так как если бы то и указанная в (3.4) сходимость была бы невозможна в силу соотношения Таким образом,

Из того факта, что сходится к постоянной при следует, что в разложении

первый коэффициент сходится к при а все остальные коэффициенты сходятся к 0 при

Следовательно, при любом значении вероятность того, что поколение будет состоять из любого положительного конечного числа индивидуумов, стремится к 0 при в то время как вероятность вырождения стремится к . В этом случае мы скажем, что при с вероятностью .

Этот результат является также следствием общей теории цепей Маркова, поскольку марковская цепь, определяемая последовательностью имеет единственное поглощающее состояние и поэтому так как являются автоматически переходными (невозвратными) состояниями.

В заключение параграфа отметим интересное свойство, состоящее в том, что условное математическое ожидание величины положительное целое число) при условии, что известно равно т. е. Чтобы доказать это, рассмотрим сначала случай

Предположим теперь, что соотношение установлено для числа и докажем его для Имеем

где использована марковская природа последовательности Но и в силу индукции Таким образом,

Рассмотрим теперь случайные величины

Тогда в силу (3.5) имеем

Можно записать, что для

откуда следует, что последовательность является мартингалом.