§ 6. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЦЕПЕЙ МАРКОВА, ПОРОЖДЕННЫХ ПРЯМЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ

В предыдущих двух параграфах мы рассмотрели несколько цепей Маркова, связанных с ветвящимися процессами. В настоящем параграфе мы изучим некоторые вопросы, относящиеся к структуре этих цепей. Более точно, будет найдено все множество собственных значений и описаны некоторые свойства соответствующих векторов. В § 8 мы укажем на различные применения и интерпретации этих результатов.

Пусть задана производящая функция

Рассмотрим порожденную цепь Маркова с матрицей переходных вероятностей где

Для того чтобы найти собственные значения матрицы проанализируем производящую функцию вероятностей

Дифференцируя по получим

Полагая имеем

где

Таким образом, если мы будем трактовать как матрицу, задающую линейное преобразование в линейном пространстве размерности то из соотношения (6.5) следует, что где Таким образом, является собственным вектором матрицы соответствующим собственному значению Очевидно, где , поскольку при всех Эти два результата являются частным проявлением формулы

где является полиномом степени При имеем

Наша цель теперь — доказать формулу (6.6) для всех Для этого продифференцируем (6.4) еще раз по

Положим тогда

Пусть

Тогда

где

Таким образом,

Следовательно, нами установлена формула

где полином степени по крайней мере для . В действительности же справедлив следующий более общий результат.

Теорема 6.1. Пусть

Тогда

где полином степени по (Условимся) что полином степени —1 есть тождественный нуль.)

Доказательство. Если продифференцировать раз, левая часть примет вид

где полином степени Если продифференцировать в правой части раз по , то получим

Первый член появляется при последовательном дифференцировании раз. Оставшиеся члены возникают при дифференцировании других сомножителей, таких, как и т. д., которые появляются в процессе дифференцирования исходного выражения. Степени этих возникающих сомножителей не зависят от Это означает, что результат указанных операций дифференцирования есть линейная комбинация различных степеней коэффициенты которой содержат в качестве сомножителей максимум из чисел коэффициенты являются полиномами степени не выше по отношению к переменной Каждое слагаемое второго члена выражения (6.10) зависит от через выражение вида

при некотором

Группируя члены в равенстве (6.10), получим

где — полином от переменной степени не выше при Фактически при степени члена складываются, и зависимость от сохраняется лишь в коэффициентах при

Предположим, что равенство (6.8) доказано для всех степеней Тогда в силу гипотезы индукции

где — полиномы степеней не выше силу

Сравнивая (6.12) и (6.13), видим, что утверждение индукции выполняется и для Это завершает доказательство формулы (6.8).

Докажем теперь основную теорему данного параграфа, которая раскрывает природу собственных значений матрицы

Теорема 6.2. (1) Собственными значениями матрицы являются числа определяемые равенством (6.7). Более того,

(2) числа удовлетворяют соотношению если где

Доказательство. (1) Введем базис из векторов размерности где Эти векторы, очевидно, линейно независимы, поскольку в противном случае мы могли бы построить полипом степени, имеющий корней, что невозможно.

Найдем теперь вид матрицы в специально выбранном базисе Понятно, что столбец матрицы состоит из коэффициентов вектора который представлен в виде линейной комбинации векторов

Из соотношения (6.8) следует, что матрица в новом базисе имеет вид

где элементы, обозначенные соответствуют полиному в (6 8). Таким образом, матрица представленная в новом базисе, является треугольной и ее собственные значения, очевидно, равны Поскольку собственные значения инвариантны относительно выбора базиса, доказательство пункта (1) закончено.

(2) Заметим, что для любого степенного ряда коэффициент при сом, очевидно, равен [коэффициент при в разложении Полагая получим

Если разделить обе части на коэффициент при в разложении то, вспоминая определение получим соотношение

При второе слагаемое в правой части, очевидно, равно 0, таким образом,

Поскольку вероятностная производящая функция, то ее коэффициенты неотрицательны. Следовательно, коэффициент при в разложении неотрицателен, так что

всегда Из предположения о том, что непосредственно вытекает, что второе слагаемое в положительно при самом деле достаточны гораздо более слабые предположения.) Поэтому что и требовалось доказать.

Из теоремы 6.2 известны все собственные значения матрицы (6.2). В предположениях пункта (2), т. е. где

собственные значения все различны. Обратимся теперь к задаче описания собственных векторов, соответствующих этим собственным значениям.

Мы уже показали, что собственному значению соответствует пара правых собственных векторов Интуитивно более привлекательна пара векторов, являющихся линейной комбинацией указанных, а именно Для компонент векторов, представленных в такой форме, можно дать вероятностную интерпретацию (см. § 2 гл. 4).

Анализ выражения для показывает, что матрица имеет

откуда с очевидностью следует, что поглощающие состояния. Более того, из предположения о том, что следует, что достижимы за один переход из каждого состояния с положительной вероятностью. Следовательно, единственные поглощающие состояния.

Следующая теорема характеризует правые собственные векторы, соответствующие собственным значениям

Теорема 6.3. Существуют полиномы степени для которых

(Вектор равен )

Доказательство. Теорема уже доказана при Если мы знаем, что

где — полином степени Выберем в виде

где постоянные нужно подобрать. Необходимо выбрать так, чтобы соотношение

выполнялось при всех Приравнивая коэффициенты при в обеих частях равенства, получим условие

Поскольку при можно найти такое число чтобы равенство (6.16) удовлетворялось. Затем, приравнивая коэффициенты при в обеих частях (6.15) и используя то обстоятельство, что известно, получим соотношение вида

Найдем из (6.17). Это возможно, поскольку Продолжая процедуру таким же образом, можно вычислить последовательно все коэффициенты так, чтобы (6.15) выполнялось тождественно по

Вышеприведенное построение доказывает существование полного базиса из собственных векторов специального вида (т. е. полученных с помощью полиномов). Из теории матриц (см. стр. 505) следует, что существует полная система левых собственных векторов. Предположим, что мы записали правые собственные векторы в следующем порядке:

где полином, определенный в теореме 6.3,

Обозначим биортогональную систему левых собственных векторов через

По-видимому, довольно трудно выразить в замкнутом виде. Тем не менее может быть в принципе вычислен рекуррентно (фактически с помощью того же метода, который использовался при доказательстве теоремы 6.3).

Для вычисления также можно предложить рекуррентный метод. Можно доказать, что компоненты вектора имеют вид

где полином степени который можно найти рекуррентным образом.

Мы завершим параграф несколькими конкретными примерами. Примеры. Тогда при

Значение для этих частных случаев представляет интерес, поскольку оно характеризует скорость приближения системы к поглощающему состоянию или, в генетической терминологии, скорость приближения к гомозиготному состоянию. Для примера (А)

Для примера (Б)

следовательно, асимптотически по

Аналогично для случая (В)

так что асимптотически

Заметим, что в пуассоновском случае значение (для больших является промежуточным между соответствующими значениями для биномиального распределения потомков и отрицательного биномиального распределения.