Глава 7. КЛАССИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ ЦЕПЕЙ МАРКОВА С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ
§ 1. ОБЩИЕ ПРОЦЕССЫ ЧИСТОГО РОЖДЕНИЯ (РАЗМНОЖЕНИЯ) И ПУАССОНОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В предыдущих главах были введены основные понятия и рассмотрены методы анализа цепей Маркова с дискретным временем. В этой главе дается краткое обсуждение некоторых важных примеров марковских процессов с дискретным множеством состояний и непрерывным временем.
Точнее, здесь мы будем иметь дело с семейством случайных величин принимающих неотрицательные целочисленные значения. Мы ограничимся случаем, когда марковский процесс со стационарными переходными вероятностями. Таким образом, переходная вероятностная функция при
не зависит от
Обычно при исследовании частных вероятностных моделей физических явлений более естественно описать так называемые инфинитезимальные вероятности, связанные с процессом, а затем вывести из них точное выражение для переходной функции.
В рассматриваемом случае мы будем постулировать вид для малых используя марковское свойство, выведем систему дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют при всех являются решением этих уравнений при соответствующих начальных условиях. Напомним, что пуассоновский процесс, введенный в § 2 гл. 1, рассматривался именно таким образом.
Перед тем как перейти к общему процессу чистого рождения, напомним кратко аксиомы, характеризующие пуассоновский процесс.
А. Постулаты пуассоновского процесса
Пуассоновский процесс был рассмотрен в § 2 гл. 1, где было показано, что его можно определить с помощью нескольких простых постулатов. Для того чтобы определить более общие процессы подобного рода, укажем на некоторые свойства, которыми обладает пуассоновский процесс. Пуассоновский процесс — это
марковский процесс, принимающий неотрицательные целочисленные значения и обладающий следующими свойствами:
Свойство (1) можно записать еще так:
Символ обозначает такую величину, которая, будучи деленной на стремится к 0 при Заметим, что правая часть не зависит от х.
Эти свойства легко проверить непосредственным вычислением, поскольку имеются точные формулы для всех рассматриваемых вероятностей.