§ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ ОБЩИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Основные признаки, по которым различаются случайные процессы, касаются природы пространства состояний временного параметра и отношений зависимости между случайными величинами

Пространство состояний S

Это пространство, которому принадлежат все возможные значения, принимаемые всеми с. в. . В случае, если мы относим процесс к классу целочисленных процессов, или процессов с дискретным пространством состояний. Если совпадает со всей действительной осью то мы называем процесс действительным случайным процессом. Если евклидово -мерное пространство, то говорят, что процесс является -мерным.

Как и в случае отдельной с. в., выбор пространства состояний не определяется однозначно описываемым физическим процессом, хотя во многих случаях выбор наиболее подходящего пространства состояний очевиден.

Временной параметр Т

Если то мы будем говорить, что является случайным процессом с дискретным временем. В этом случае мы будем часто писать вместо Если то случайный процесс будем называть процессом с непрерывным временем.

Мы уже приводили примеры временного параметра более чем одного измерения (пространственные пуассоновские процессы). Другим примером могут служить волны в океане. Географические долготу и широту можно рассматривать как а высоту волны в данном месте — как

Отношения зависимости

Важной чертой случайного процесса является зависимость между случайными величинами

Характер этой зависимости определяется заданием совместных функций распределения для каждого конечного семейства процесса. Как мы увидим из примеров (а) и приводимых ниже, совместные функции распределения часто могут быть выражены через другие распределения, связанные с процессом.

Для целей настоящей книги случайный процесс можно считать полностью заданным, если определены его пространство

состояний, временной параметр и семейство конечномерных распределений. Однако при рассмотрении случайных процессов с непрерывным параметром возникают некоторые трудности, которые мы иллюстрируем на следующем примере.

Пусть с. в., равномерно распределенная на [0, 1]; определим следующим образом:

Непосредственным вычислением легко убедиться, что и имеют одинаковые конечномерные распределения. Вместе с тем

а

— положение вещей просто обескураживающее. Чтобы объяснить, чем вызваны эти затруднения, рассмотрим следующий пример.

Предположим, что является случайным процессом с непрерывным временем. Наша задача — найти

Рассмотрим последовательность сужающихся событий:

Вероятность каждого события можно выразить через совместную функцию распределения соответствующих с. в. На первый взгляд кажется естественным положить равным значению предела . Однако не все, что кажется естественным, свободно от противоречий. В такой же степени естественно считать, что где но отнюдь не очевидно, что пределы равны между собой.

Более того, без дополнительных ограничений, касающихся гладкости выборочных функций процесса, эти пределы, вообще говоря, могут иметь различные числовые значения. Известны различные достаточные условия их равенства; одно из этих условий состоит в том, что для всех и всех

В этом случае можно показать, что никаких противоречий не возникает, если определить как общее значение указанных пределов. Более того, если любое

множество точек, всюду плотное в интервале то

Суть дела состоит в следующем: в то время как формула полной вероятности позволяет вычислять вероятности событий, включающих последовательности с. в., через вероятности событий, связанных с любым конечным, а следовательно, и счетным подмножеством этой последовательности, событие зависит от несчетного числа с. в. Мы не можем подробно исследовать этот вопрос в нашей книге и рекомендуем читателю обратиться к монографии Дж. Дуба [4]. Некоторые вопросы, касающиеся оснований теории случайных процессов, мы затронем в гл. 8.

Опишем теперь некоторые классические типы случайных процессов, характеризующиеся различными видами зависимости между . В этих примерах мы будем считать, если не оговаривается противное, что Для простоты изложения мы предполагаем, что с. в. действительные.

(а) Процесс с независимыми приращениями

Если с. в.

независимы для всех таких, что

то мы будем говорить, что является процессом с независимыми приращениями. Если множество индексов содержит наименьший индекс то предполагается также, что

независимы. Если то процесс с независимыми приращениями сводится к последовательности независимых с. в. в том смысле, что, зная распределения с. в. мы можем определить (и это должно быть ясно читателю) совместное распределение любого конечного множества с. в. . В самом деле,

(б) Мартингалы

Пусть действительный случайный процесс с дискретным или непрерывным пространством индексов. Мы назовем мартингалом, если для любых математическое ожидание равно для всех допустимых значений Мартингалы можно рассматривать как модели безобидных игр. В самом деле, если описывает состояние капитала игрока в момент то по определению мартингала

средняя величина его капитала в момент при условии, что в момент он располагал капиталом равна независимо от того, каков был его капитал в предшествующие моменты времени. Легко убедиться в том, что процесс является мартингалом (с дискретным временем), если с. в. независимые, с нулевыми средними значениями. Аналогично если процесс имеет независимые приращения, средние значения которых равны нулю, то является мартингалом с непрерывным временем (см. упр. 18).

(в) Марковские процессы

Марковский процесс — это процесс, обладающий тем свойством, что если известно значение с. в. то значения не зависят от другими словами, вероятность любого события, связанного с будущим поведением процесса, при условии, что его настоящее состояние точно известно, не изменится, если учесть дополнительную информацию относительно прошлого этого процесса. Подчеркнем однако, что если наше знание настоящего состояния процесса не точно, то вероятность будущего поведения процесса будет, вообще говоря, зависеть от того, что мы знаем о прошлом процесса. Формально, процесс является марковским, если

при Пусть интервал на действительной оси. Функция

называется функцией переходных вероятностей. Эта функция играет важную роль при изучении марковских процессов. Условие (3.1) можно выразить следующим образом:

где Можно доказать, что распределение набора

можно выразить через функцию переходных вероятностей (3.2) и распределение начальной с. в. Мы остановимся подробнее на этих понятиях при рассмотрении дискретных во времени и пространстве марковских процессов

(г) Стационарные процессы

Случайный процесс [здесь может быть одним из следующих множеств: множество всех целых

чисел, множество положительных чисел] называется стационарным в узком смысле, если совместные распределения семейств с. в.

одинаковы при всех и всех из Это условие означает, по существу, что процесс находится в вероятностном равновесии и момент начала нашего наблюдения не имеет значения. В частности, распределение с. в. одно и то же при всех

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, или ковариационно стационарным, если он обладает конечными вторыми моментами и зависит только от при всех

Стационарные процессы служат для описания многих явлений в теории связи, астрономии, биологии, а иногда и экономики.

Говорят, что марковский процесс имеет стационарные переходные вероятности, если определенная формулой (3.2), является функцией лишь разности Вспомним, что есть условная вероятность — настоящее состояние процесса считается известным. Поэтому нет никаких оснований ожидать, что марковский процесс со стационарными переходными вероятностями является стационарным процессом, что и соответствует действительному положению вещей.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)