§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ К БРОСАНИЯМ МОНЕТЫ

Рассмотренные процессы случайного, блуждания связаны с задачами о бросании монеты. Предположим, что два игрока договариваются провести серию бросаний симметричной монеты на следующих условиях: если выпадает герб, то игрок I выигрывает единицу у игрока II, в противном случае он проигрывает единицу игроку II. Пусть

при бросании монеты. Тогда есть суммарный выигрыш игрока I после бросаний монеты. Положим также Один из самых простых вопросов, касающихся этой игры, таков: какова вероятность того, что после бросаний монеты суммарный выигрыш игрока I будет равен нулю? Очевидно, что выигрыш игрока I не может быть равным нулю, если нечетно. Пусть тогда если выигрыш равен нулю после бросаний, то игрок I выиграл партий и столько же проиграл. Искомая вероятность, очевидно, равна

Далее, чему равна вероятность того, что после бросаний выигрыш игрока I будет равняться нулю в первый раз? Очевидно, описывают симметричное случайное блуждание на множестве всех целых чисел. Поэтому наш вопрос может быть сформулирован так: чему равна вероятность о первого возвращения в состояние 0 на шаге? Первый переход из состояния 0 может произойти в одно из двух состояний —1 или +1 с одинаковыми вероятностями обоих исходов, равными 72- В силу очевидной симметрии относительно нулевого состояния вероятность первого достижения состояния 0 из состояния должна равняться вероятности первого достижения состояния 0 из состояния —1, поэтому мы ответим на вопрос, если найдем вероятность первого достижения состояния 0 из состояния за шагов. Но эта

вероятность равна вероятности первого достижения состояния —1 из состояния 0 в силу однородного характера процесса. Последняя же вероятность равна вероятности поглощения состоянием —1 за шагов при условии, что исходным состоянием, было состояние 0, в процессе случайного блуждания на множестве целых чисел с поглощающим экраном, расположенным в состоянии —1. Из формулы (5.7) при получаем

В последнем интеграле сделаем замену тогда

Еще одна замена дает

где

есть бета-функция, которую можно выразить через гамма-функцию:

Воспользовавшись известными свойствами гамма-функции, получаем

Так как мы находим, что вероятность равенства нулю суммарного выигрыша игрока I после бросаний монеты

задается формулой

Простой подсчет приводит к следующему интересному результату:

где по определению Далее,

а это значит, что

Чему равна вероятность того, что выигрыш игрока I обратится в нуль в раз после бросания монеты? Мы ответим на этот вопрос, сформулировав его в терминах процесса случайного блуждания: «какова вероятность того, что возвращение в нулевое состояние произойдет на шаге?» Как и ранее, можно считать, что из состояния 0 на первом шаге процесс попадает в состояние более того, это же происходит после каждого из первых возвращений в состояние 0. Далее, поскольку наше случайное блуждание однородно, мы можем «менять местами» во времени промежуточные шаги, не изменяя при этом вероятности достижения одного состояния из другого. Так, мы можем считать, что непосредственно за первым шагом «вправо» (в состояние происходят все переходы в состояние следующие за каждым из первых возвращений в состояние 0, и, таким образом, за первые шагов процесс оказывается в состоянии Тогда искомая вероятность равна вероятности достижения состояния 0 в первый раз за шагов при начальном состоянии А, или, что то же, вероятности достижения состояния —1 из состояния в первый раз за шагов. Последняя же вероятность есть вероятность поглощения состоянием —1 на шаге при начальном состоянии в процессе случайного блуждания по множеству целых чисел

с поглощающим экраном, расположенным в состоянии —1. Формула (5.7) дает

Значение этого интеграла, как можно подсчитать (см. задачу 7 в конце главы), таково:

Рассмотрим теперь последовательность Нас будет интересовать следующий вопрос: чему равна вероятность того, что ровно к членов этой последовательности обращаются в нуль. Это соответствует вероятности того, что за бросаний монеты выигрыш игрока I обратится в нуль ровно раз.

В силу (6.4) имеем Вычислим теперь Пусть событие, состоящее в том, что среди только равно нулю. Тогда для

Ясно, что события независимы и вероятность последнего есть просто Тогда

где по определению Таким образом,

Однако есть вероятность того, что выигрыш игрока I будет равен нулю после бросаний монеты; эта вероятность, как мы уже отмечали, равна вероятности События также независимы, и, таким образом, мы получаем соотношение

События в правой части этого соотношения несовместны, а их объединение состарляет событие следовательно,

Таким образом, при Точно так же можно показать, что

Сравнивая (6.8) и (6.7) и используя равенство а также тот факт, что получаем

Подставляя это в (6.8), индукцией получаем следующее рекуррентное соотношение:

Если положить в нем оно сведется к соотношению

Этому рекуррентному соотношению удовлетворяют величины

Итак, нам известны а прямая подстановка показывает, что задаются формулой (6.11). Очевидно, соотношение (6.10) однозначно определяет при следовательно, формула (6.11) дает нам выражение для величин и поэтому

С тем чтобы ответить на следующий вопрос, касающийся последовательности определим понятие перемены знака в последовательности. Мы скажем, что в момент произошла перемена знака, если Вопрос же состоит в следующем. Чему равна вероятность того, что в последовательности имеется ровно перемен знака? Событие, о котором идет речь, произойдет, если среди имеется ровно нулей и ровно в из них процесс меняет направление. Пусть

как это следует из формулы (6.12). Далее, смена направления в нуле происходит с вероятностью Следовательно,

откуда

Используя равенства

получаем

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

ЗАМЕЧАНИЯ

Алгебраическим методам исследования марковских цепей посвящена гл. 16 книги Феллера [1]. Эти же вопросы освещены в книге Кемени и Снелла [2].

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)