§ 5. ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ДВУМЯ ТИПАМИ ЧАСТИЦ

Обобщим развитую выше теорию на случай двух измерений. Рассмотрим популяцию организмов или объектов, в которой различаются два типа этих объекюв. Индивидуумы каждого типа могут в общем случае порождать потомков обоих типов независимо от других индивидуумов. Пусть число индивидуумов типов I и II соответственно в поколении. Можно записать

где независимые одинаково распределенные случайные векторы с распределением

Здесь

Другими словами, вероятности того, что индивидуум типа I или II соответственно порождает прямых потомков, из которых имеют тип I и - тип II.

Предположим, что процесс начинается, когда имеется один индивидуум, т. е. предположим, что

или

Введем две двумерные производящие функции

Производящая функция распределения (5.1) имеет вид

а распределения (5.2) —

Кроме того,

Обобщая метод, примененный для одномерного случая, можно показать, что

Это двумерный аналог формулы (2.3).

Чтобы обобщить формулу (3.5), введем следующие обозначения. Пусть двумерный вектор с компонентами Положим

и введем матрицу математических ожиданий

Таким образом, средние количества потомков типов I и II соответственно, порожденных единственным родителем типа Тогда обобщением (3.5) является матричное равенство

Доказательство его для проводится непосредственно:

Предположим теперь, что соотношение (5.4) выполняется для и докажем его для . В силу того что последовательность образует цепь Маркова, имеем

Тем самым (5.4) доказано.

Введем следующие вероятности поглощения для двумерного ветвящегося процесса:

«Одномерная» теория распространяется на этот случай с той лишь разницей, что роль математического ожидания здесь играет наибольшее собственное значение матрицы

Мы отсылаем читателя к приложению и, в частности, к теореме Фробениуса относительно матриц с неотрицательными элементами. Там доказано, что если матрица с положительными элементами (что условимся обозначать то собственное значение, максимальное по модулю, является положительным и, следовательно, действительным. Это собственное значение будет обозначаться через

Удобно ввести следующие векторные обозначения:

Теперь можно доказать такую теорему.

Теорема 5.1. Предположим, что компоненты вектора не являются линейными функциями (все элементы матрицы положительны). Тогда если максимальное собственное значение матрицы не превышает 1, и 1, если (Обозначение означает, что вектор и имеет положительные (неотрицательные) компоненты.) В случае наименьшее неотрицательное решение уравнения

Доказательство. Рассмотрим случай . В соответствии с общей теорией цепей Маркова мы знаем, что если цепь имеет единственное поглощающее состояние, то все состояния, из которых оно может быть достигнуто, — переходные (невозвратные). Двумерный процесс является как раз таким процессом: начало координат является единственным поглощающим состоянием, и оно может быть достигнуто из любого другого. Это является следствием того факта, что не имеет линейных компонент и Таким образом, все состояния, за

исключением начала координат, невозвратны. Следовательно,

для любого положительного (см. теорему 7.1 гл. 2). Это означает, что

Из формулы (5.4) имеем Но из теоремы 2.3 приложения следует, что сходится покомпонентно при . Следовательно, в случае компоненты векторов остаются ограниченными при Отсюда следует, что событие происходит с вероятностью 0. Следовательно, или, что то же, при с вероятностью 1. Таким образом, если то

Рассмотрим теперь случай Из формулы (5.3) при имеем

Пусть

Тогда (5.6) можно переписать в виде

Поскольку является возрастающей функцией (причем если увеличиваются обе эти переменные одновременно, то — строго возрастающей) и поскольку то имеем, очевидно,

Тогда по индукции

Следовательно, при любом монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху числом 1, и

Пусть в соотношении Тогда

или, в векторных обозначениях, Докажем теперь, что и что это — единственное решение уравнения (5.5) при указанных условиях. Раскладывая по формуле Тейлора в окрестности точки получаем выражение

которое справедливо при и достаточно малых Символ означает, что при Очевидно,

Перепишем (5.8) в векторной форме

где

Из соотношения следует, что Пусть норма вектора определяется как сумма абсолютных значений его координат: Докажем теперь, что для достаточно больших

при условии, что и 0. Действительно, в соответствии с теоремой 2,3 приложения

где максимальное собственное значение а — отвечающие ему единственные (с точностью до постоянного множителя) соответственно левый и правый собственные векторы, нормированные таким образом, что Обозначение является обобщением общепринятого. Именно вектор, каждый элемент которого стремится к 0 при Множитель не зависит от . Он равен разности между и его предельным (при значением. Перепишем вышеприведенное выражение в виде

Если , то получим очевидную оценку

Поскольку то при достаточно большом получим неравенство (5.10). Комбинируя (5.9) и (5.10), получаем

при условии, что достаточно мал, а достаточно велико, скажем Пусть . Тогда

при всех удовлетворяющих условию Используем (5.11) для того, чтобы доказать, что . Предположим, что т. е. для Тогда величина стремится при Из (5.3) следует, что

Используя (5.11), где имеем

если а этого можно добиться, выбрав достаточно большим. Однако соотношение (5.12) противоречит предположению о том, что при Таким образом, равенство невозможно. Предположим теперь, что Тогда

и

Таким образом, имеем

где Поскольку монотонна по должна быть постоянной на отрезке

и, следовательно,

что противоречит сделанному предположению о том, что Аналогичным образом можно доказать, что случай невозможен. Таким образом, установлено, что Проверка того, что меньше любой другой положительной неподвижной точки, производится следующим образом. Пусть вектор удовлетворяет уравнению . В силу монотонности имеем Итерируя, получаем переходя к пределу, находим, что

Мы можем усилить результат теоремы 5.1 следующим образом.

Теорема 5.2. В предположениях теоремы 5.1 для любого вектора из единичного квадрата, отличного от 1,

Доказательство. Предположим сначала, что . Если положительное целое число, то разложение Тейлора функции имеет вид

Последняя сумма ограничена величиной

которая при стремится к 0, поскольку

Каждый коэффициент первой суммы стремится к нулю при поскольку стремится либо к 0, либо к Этот факт базируется на том, что все конечные состояния, не совпадающие с (0,0), невозвратны. Отсюда следует, что при фиксированном первая сумма стремится к 0. Следовательно,

как и утверждается в теореме. Аналогично

Если одна из величин равна 1, но не обе одновременно, то является положительным вектором, каждая компонента которого строго меньше 1. Применяя предыдущие рассуждения к получаем

Следствие 5.1. Единственными решениями уравнения (5.5) являются 1 и .