§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1.1
Мы докажем теорему 1.1 при следующих дополнительных предположениях: при 
все члены последовательностей 
равны нулю; 
Уравнение восстановления в этом случае принимает вид
или, что то же самое,
Применяя индукцию (рассматривая уравнения последовательно), легко убедиться, что 
при всех 
Поскольку, согласно предположению, 
ограниченная последовательность, величина 
конечна. Пусть 
такая подпоследовательность, что 
Используя условие 
мы докажем, что 
Предположим противное; тогда из определения 
следует, что существует такое 
что для бесконечного числа значений индекса 
Положим 
и 
и найдем 
такое, что
Пусть 
настолько велико, что 
и
и
Такое 
существует по определению 
Из (2.1), (2.2) и (2.3) имеем
Но это противоречит первому из неравенств (2.3), и, следовательно, 
Повторением предыдущих рассуждений убеждаемся, что для любого целого числа 
Далее, положим 
очевидно, 
(Заметим, что сходимости ряда 
не требуется.) Подставляя 
в (2.1), получаем
Полагая 
мы можем записать последнее равенство в виде
где 
Отсюда следует, что 
Так как 
при всех 
то для любых фиксированных 
имеет место неравенство
Устремляя 
получаем неравенство 
которое можно записать в виде 
Поскольку 
произвольно, отсюда следует неравенство
Так как 
при всех 
из неравенства (2.5) следует утверждение теоремы для случая, когда 
поскольку [как это следует из 
Если 
положим 
Те же рассуждения, что и для верхнего предела, показывают, что если 
то 
Для любого целого числа 
Положим 
ясно, что 
и
Устремляя 
получаем
Переходя теперь к пределу при 
получаем неравенство
Из (2.5) и (2.6) следует, что 
. С другой стороны, по самому их смыслу. Следовательно, 
что означает, что предел 
существует и, более того,
Для случая, когда 
но наибольший общий делитель целых чисел 
для которых 
равен 1, теорему 1.1 можно доказать аналогичным способом, воспользовавшись при этом следствием 4.1 гл. 2.
