§ 5. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЕ ВРЕМЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ (G/М/1)

Другой моделью, которая может быть изучена с помощью метода вложенных цепей Маркова, является модель с произвольным распределением интервалов между моментами поступлений и экспоненциально распределенным (с параметром временем обслуживания.

В этом случае примем, что переходы вложенной цепи Маркова определяются моментами поступления новых требований, а ее состояние до следующего перехода — длина очереди перед вновь поступившим требованием.

Если состояние системы после некоторого момента поступления, состояние после следующего момента поступления, то

где число обслуженных требований за рассматриваемый отрезок времени. В силу свойства «отсутствия последействия» у экспоненциального распределения (см. теорему 2.2 гл. 7) число требований, обслуженных за время между моментами поступлений, зависит только от длины этого интервала и величины и не зависит от времени, в течение которого уже обслуживалось очередное требование. Интервалы между моментами поступлений являются, конечно, независимыми случайными величинами. В силу указанных фактов заключаем, что соотношение (5.1) определяет цепь Маркова. Вычислим ее матрицу перехода

Поскольку то при Если то требований было обслужено до поступления очередного требования. Обозначим вероятность этого события через Очевидно, если

Целесообразно найти выражение для через распределение интервалов между моментами поступления и распределение времени обслуживания. Для этого заметим, что если длина интервала между моментами поступления равна то вероятность того, что завершится обслуживание в точности требований, равна

где распределение времени обслуживания, а -кратная свертка Действительно, пусть длительности первой, второй и т. д. операций обслуживания. Величины независимы и одинаково распределены по закону Вероятность того, что за время закончатся по меньшей мере операций обслуживания, совпадает с вероятностью того, что временной интервал до окончания акта обслуживания не превышает т. е.

Следовательно, вероятность завершения за время в точности операций обслуживания равна Р (время, необходимое для завершения по крайней мере операций обслуживания — Р (время, необходимое для завершения по крайней мере операций

обслуживания Отсюда следует формула (5.2). Точное выражение для следующее:

Интегрируя соответствующую формулу для по частям, получим

В силу формулы полной вероятности имеем

где функция распределения интервалов между моментами поступления. Формула для может быть выведена непосредственным образом. Однако метод, приведенный выше, имеет самостоятельную ценность и может использоваться при решении других задач.

Наконец, величина вероятность того, что все имевшиеся требований были обслужены, равна вероятности того, что при наличии более чем требований по крайней мере из них были бы обслужены. Лучше всего записать тогда

где

Цепь Маркова с матрицей переходных вероятностей (5.3) была рассмотрена в § 6 гл. 3 и там был проведен довольно подробный анализ, касающийся таких свойств, как положительная возвратность и невозвратность. В частности, было доказано, что если

то цепь Маркова является возвратной положительной и предельное распределение имеет вид

где единственное решение уравнения а

В силу определения имеем

Следовательно, процесс является возвратным положительным тогда и только тогда, когда

Время ожидания

Если и функция распределения длины очереди является стационарной, найдем функцию распределения времени ожидания начала обслуживания.

Вероятность того, что требование не будет ожидать в очереди, равна

Если требование поступает и застает впереди себя требований, то оно должно ожидать время, равное сумме независимых одинаково (экспоненциально) распределенных длительностей обслуживания, прежде чем поступит на обслуживающий прибор. Эта сумма обладает гамма-распределением порядка с параметром Таким образом,

Следовательно, в силу того, что

имеем

Это распределение является комбинацией экспоненциального с параметром и вырожденного (сосредоточенного в точке 0). Последнее имеет вес который равен вероятности того, что поступившее требование не будет ожидать начала обслуживания. Условная функция распределения времени ожидания при условии занятости обслуживающего устройства равна при этом