ПРИЛОЖЕНИЕ § 1. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

А. Вводные понятия, линейная независимость и базис

Множество всех -векторов где — комплексные числа, образует -мерное векторное пространство. Сумма двух векторов определяется как а произведение вектора х на комплексное число X по формуле

Векторы называются линейно независимыми, если из равенства

следует, что в противном случае эти векторы называются линейно зависимыми. Например, векторы являются, очевидно, линейно независимыми. В -мерном векторном пространстве не может быть более, чем линейнр независимых векторов, или другими словами, любое множество, состоящее более чем из векторов, линейно зависимо.

Пусть линейно зависимые векторы. Тогда существует вектор являющийся линейной комбинацией векторов или, что то же самое, не представимый в виде . Это означает, как легко видеть, что линейно независимы. Рассуждая далее точно так же, мы получим множество из линейно независимых векторов, построенное пополнением множества векторов векторами Поскольку никакое линейно независимое множество не может состоять более чем из векторов, для каждого вектора у и любого линейно независимого множества векторов мы можем определить (и притом единственным образом) константы такие, что

Аналогичные результаты имеют место для любого линейного подпространства т. е. для любого множества векторов такого, что если то для любых комплексных чисел а и Каждое линейное подпространство характеризуется целым числом называемым размерностью

подпространства, которое равно максимальному числу векторов, все еще образующих линейно независимое множество. Если линейно независимые векторы из то существует вектор который нельзя представить в виде линейной комбинации векторов Как и ранее, легко показать, что существуют векторы такие, что образуют линейно независимое множество векторов. Более того, для любого вектора существуют (и единственны) константы такие, что стфт Заметим, что если размерность подпространства равна нулю то это означает, что состоит лишь из нулевого элемента; если же то совпадает с исходным векторным пространством. Если то любое линейно независимое множество из векторов, принадлежащих называется базисом подпространства Мы будем пользоваться термином «базис» (без указания подпространства) для обозначения любого множества из линейно независимых векторов.

Б. Скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов х и у определяется формулой

где числа, комплексно сопряженные с Отметим следующие легко доказываемые свойства скалярного произведения:

(i) , причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда ;

(ii) , где комплексное число;

Из последнего соотношения следует, что

Говорят, что векторы х и у ортогональны, если Норма вектора х определяется как

Набор комплексных чисел образует (квадратную) матрицу порядка , обычно обозначаемую

Квадратная матрица порядка определяет преобразование (или оператор) в -мерном пространстве, ставящее в соответствие вектору х из этого пространства вектор где либо вектор где

Из этого определения непосредственно следует, что

для любых векторов х и у и любых констант Кроме того, где А — квадратная матрица порядка с элементами

В. Собственные значения и собственные векторы

Комплексное число А, называется собственным значением (или характеристическим числом) матрицы А, если существует такой вектор что Пусть X — собственное значение матрицы множество состоящее из всех векторов х, таких, что называется правым собственным подпространством матрицы А, соответствующим собственному значению Элементы подпространства называют при этом правыми собственными (или характеристическими) векторами, соответствующими (отвечающими или принадлежащими) собственному значению Очевидно, что из следует, что для любых констант а и Размерность называют кратностью собственного значения

Если собственные подпространства оператора А, соответствующие различным собственным значениям, то ненулевые векторы принадлежащие подпространствам соответственно, линейно независимы. В самом деле, предположив противное, обозначим через наименьшее целое число, для которого существуют векторы и константы такие, что где не все равны 0 и все различны. Очевидно, . Применяя А к обеим частям предыдущего равенства, получаем Если хотя бы одно из собственных значений равно нулю, то векторов линейно зависимы, что противоречит определению числа Если же все А, отличны от нуля, то, умножая равенство например, на и вычитая из результата равенство получаем

Последнее также противоречит определению

Пусть базис собственного подпространства легко видеть, что векторы

линейно независимы. Из вышесказанного следует, что А Может иметь лишь конечное число собственных значений и собственных подпространств, В том важном случае, когда сумма размерностей

собственных подпространств равна в -мерном векторном пространстве существует базис из собственных векторов матрицы А. Матрица А, обладающая этим свойством, называется приводимой к диагональной форме (или диагонализируемой).

Точно так же, как в предыдущих рассуждениях мы отправлялись от уравнения за основу можно принять уравнение Оказывается, что значения X, при которых уравнение имеет ненулевое решение, суть собственные значения матрицы А, определенные ранее. Размерность подпространства, образуемого векторами, удовлетворяющими уравнению (левыми собственными векторами), равна кратности собственного значения (Читателю следует убедиться в этом самостоятельно.) Как и в предыдущем случае, левые собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Отметим, что собственные значения матрицы А являются корнями алгебраического уравнения степени где I — единичная матрица. Отсюда следует, что если

где квадратные матрицы, то X является собственным значением матрицы А тогда и только тогда, когда X — собственное значение по крайней мере одной из матриц или Действительно, так как

где через I обозначены единичные матрицы соответствующих порядков, то утверждение очевидно.

(а) Спектральное представление

В этом пункте мы будем предполагать, что матрица А действительная, т. е. что ее элементы — действительные числа. Пусть матрица А такова, что ее правые собственные векторы образуют базис в -мерном векторном пространстве. В этом случае, как легко убедиться, левые собственные векторы также образуют базис. Если элементы матрицы А действительны, указанные базисы можно сделать биортогональными. Покажем это. Пусть базисы из правых и левых собственных векторов соответственно. Биортогональность базисов означает, что

Прежде всего отметим, что если , то

Таким образом, если то Далее, из следует, что где Это означает, что к является собственным значением матрицы А той же кратности, что и к. Пусть

— собственные значения матрицы А, причем комплексные, а действительные. Обозначим соответствующие правые собственные подпространства через а левые собственные подпространства через

Как мы уже показали, каждый вектор из 21 ортогонален любому правому собственному вектору, за исключением принадлежащих подпространству Наша задача теперь состоит в выборе базиса подпространства и базиса кратность собственного значения подпространства векторы которых обладают тем свойством, что Чтобы решить эту задачу, предположим, что произвольный базис в произвольный базис в Нам нужно найти такие константы что

Если эта система линейных уравнений относительно не имеет решения, то вектор не представим в виде линейной комбинации векторов

Отсюда следует, что эти векторы линейно зависимы, т. е. существуют константы не все равные нулю, такие, что Но это значит, что

Ранее нами было доказано, что векторы (а следовательно, и любая их линейная комбинация) ортогональны любому правому собственному подпространству, за исключением Теперь мы видим, что ортогонален всем правым собственным векторам и, разумеется, любой их линейной комбинации. По предположению правые собственные векторы образуют

базис. Поэтому вектор аауа ортогонален самому себе и, следовательно, равен нулю. Это противоречит линейной независимости векторов Таким образом, искомый вектор существует. Остальные векторы, строятся точно так же. Остается показать, что векторы линейно независимы. Предположим, что тогда

а это и означает, что векторы линейно независимы.

Итак, мы показали, что действительная диагонализируемая матрица имеет базис из правых собственных векторов и базис из левых собственных векторов векторы которых биортогональны, т. е. Мы воспользуемся этим результатом при построении канонического представления матрицы А, называемого спектральным. Пусть собственные значения матрицы соответствующие им правые и левые собственные векторы. Пусть

Из биортогональности базисов сразу же следует, что где I — единичная матрица. Кроме того, непосредственным вычислением легко установить, что Поскольку и векторы образуют базис во всем пространстве, то

Легко видеть, что Так как

то относительно легко вычисляется, если известно спектральное представление матрицы А.

(б) Сходимость

Нам понадобится понятие сходимости для последовательностей векторов и матриц.

Говорят, что последовательность векторов -мерного векторного пространства сходится к вектору если

Точно так же последовательность квадратных матриц порядка сходится к матрице если

Из этих определений сразу же следует, что если то Более того, если последовательность матриц, для которой существует матрица А и базис такие, что

Действительно, в этом случае для любого у, так как образуют базис, а, следовательно,