3. Генетическая модель II

Ген состоит из некоторого числа, скажем, элементарных единиц. Прежде чем клетка, содержащая ген, начнет делиться, каждая из этих единиц удваивается, и каждая из двух «дочерних» клеток получает ген, состоящий из того же количества элементарных единиц, что и ген «материнской» клетки. Одна или несколько единиц могут быть в мутантной форме. Предполагается, что в процессе удвоения гена каждая мутантная единица превращается в две мутантные единицы, а каждая немутантная единица — в две немутантные. Кроме того, мы предполагаем, что после удвоения

эти единицы распределяются между двумя новыми генами случайным образом, как если бы они извлекались из урны. Мы будем следить за судьбой потомков только по одной линии, а не за всей популяцией. Чтобы описать генетическую историю этой линии, рассмотрим марковскую цепь, пространство состояний которой образовано числами Мы будем говорить, что ген находится в состоянии если он содержит мутантных и немутантных единиц. Переходные вероятности цепи вычисляются по формуле

Это выражение для получено следующим образом. Предположим, что родительский ген находится в состоянии тогда после удвоения мы получим набор из мутантных и немутантных единиц. Для того чтобы образовать дочерний ген, из этого набора извлекаются произвольных единиц. В соответствии с гипергеометрическим распределением вероятность того, что дочерний ген окажется в состоянии определяется формулой (2.15).

Состояния называются смешанными, а состояния чистыми. Состояние интересно тем, что ген, все элементарные единицы которого мутантны, может принести смерть своему обладателю, в то время как ген, находящийся в состоянии О, при делении не порождает мутантных генов. Позже мы вычислим в явном виде вероятности того, что ген из состояния попадает в состояние 0 или