§ 7. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ s ПРИБОРОВ (GI/M/s)

Обобщим рассмотренные выше для случая одного обслуживающего прибора приемы на случай системы, состоящей из приборов, в которую требования поступают через интервалы, имеющие распределение а распределение времени обслуживания экспоненциально с параметром Предположим, что распределения длительностей обслуживания для всех приборов совпадают.

Как и прежде, процесс обслуживания не является марковским, но можно построить вложенную цепь Маркова. Пусть переходы

цепи определяются моментами поступления новых требований, и пусть состояние системы, есть число требований, ожидающих или обслуживаемых, которые находились в системе в момент поступления последнего требования.

Вероятность можно найти следующим образом:

(1) Если , то при всех

(2) Если то все требования находились на обслуживании и до следующего момента поступления закончилось актов обслуживания Вероятность того, что за время фиксированное требование обслужится, равна Таким образом,

Подинтегральная функция является вероятностью из биномиального распределения, соответствующей успехам (завершениям актов обслуживания до следующего момента поступления).

(Вывод последнего равенства совпадает с выводом, приведенным после формулы (5.2). В нашем случае функция распределения времени до завершения очередного акта обслуживания является экспоненциальной с параметром поскольку в рассматриваемом случае заняты все приборов.)

(4) Если то в начале рассматриваемого интервала требований будут ожидать, требований обслуживаться. В конце интервала будет свободных приборов. Пусть время до того момента, когда не останется ожидающих требований, т. е. время до окончания обслуживания требований всеми работающими приборами. Поскольку интервалы между моментами окончаний актов обслуживания

распределены экспоненциально с параметром то величина имеет гамма-распределение порядка с параметром Предположим, что оставшиеся требований обслуживаются время и где длительность интервала между соседними моментами поступления. Тогда

где последнее равенство получено с помощью биномиального распределения, аналогично равенству (7.1).

А. Стационарные вероятности

Естественно ожидать, что если нагрузка системы

то спустя достаточно долгое время вероятности пребывания в каждом состоянии должны стабилизироваться. Найдем положительный вектор удовлетворяющий соотношениям Сравнивая с рассмотренным ранее частным случаем одноканальной системы, приходим к рассмотрению пробного решения вида

В системе уравнение имеет вид

Это уравнение вида где

— выпуклая возрастающая на функция, Выпуклость функции можно проверить двойным дифференцированием. Следовательно, решение а в существует тогда и только тогда, когда Поскольку

то это условие как раз совпадает с условием Найдя а, можно найти и остальные компоненты из рекуррентных соотношений

или

где Нормализуя, получим финальные вероятности

Б. Время ожидания в стационарном режиме

Вероятность того, что поступившее требование не будет ожидать начала обслуживания, совпадает с вероятностью того, что в момент поступления по крайней мере один прибор свободен, И равна

где

Если состояние системы равно то вновь поступившее требование должно ожидать начала обслуживания до тех пор, пока не обслужатся требований, стоящих перед ним. Но поскольку работают все приборов, интервалы между окончаниями актов обслуживания распределены экспоненциально с параметром Таким образом, время ожидания такого требования имеет гамма-распределение порядка с параметром и