Б. Примеры пуассоновских процессов

(а) Можно проиллюстрировать пуассоновский процесс на примере процесса ловли рыбы. Пусть случайная величина обозначает число пойманных рыб за временной интервал Предположим, что общее число рыбы, имеющейся в наличии, весьма велико, так что «завзятые» рыбаки имеют не больше шансов поймать рыбу, чем все остальные, и что интенсивность клева не зависит от времени. При этих «идеальных» условиях процесс можно считать пуассоновским. Этот пример поясняет марковское свойство (вероятность поймать рыбу не зависит от числа уже пойманных) и свойство независимости от времени ожидания, которое является наиболее характерным свойством пуассоновского процесса; оно означает, что рыболов, только что прибывший на рыбалку, имеет такой же шанс поймать рыбу за определенный отрезок времени, как и тот, который уже просидел четыре часа безуспешно.

(б) Менее искусственный пример связан с задачами, возникающими в теории счетчиков. Если — число радиоактивных частиц, зарегистрированных счетчиком Гейгера за временной интервал то этот процесс является пуассоновским при много меньших полупериода распада вещества. Отсюда получается, что вероятность распада за единицу времени можно считать не меняющейся с течением времени.

(в) Пуассоновские процессы естественным образом возникают во многих моделях образования очередей (массового обслуживания). В этих примерах наибольшее внимание уделяется моментам времени, когда очереди в момент изменяется, а не самим значениям Процесс ловли рыбы (см. пример является, конечно, частным случаем подобных моделей.