§ 4. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ

Пусть матрица переходных вероятностей случайного блуждания по неотрицательным целым числам, вероятность перехода в одно из соседних состояний из состояния равна а нулевое состояние является отражающим экраном, т. е.

Чтобы найти вероятность перехода из состояния в состояние I за шагов, мы могли бы получить степень матрицы и выделить элемент Этот путь, однако, слишком громоздок.

Другой возможный путь — это попытаться обобщить метод собственных значений и собственных векторов, развитый в § 2. В случае бесконечных матриц это не всегда можно сделать,

Однако для матриц только что описанного вида и, более того, для матриц переходных вероятностей, соответствующих процессам случайного блуждания, имеет место бесконечномерный аналог представления (1.1).

Мы сейчас получим выражение для способом, который иллюстрирует общий подход, применимый к произвольным процессам случайного блуждания.

Складывая два тригонометрических тождества

приходим к следующему тождеству:

Пусть в этом случае имеем

Так как элементы строки матрицы имеют вид

тождества (4.1) можно записать как

Умножая обе части (4.2) на получаем

Представим произведение с помощью (4.2) в виде

Подставляя это в (4.3), получаем

Отметим, что суммирование от 0 до введено лишь для упрощения обозначений; на самом деле лишь конечное число слагаемых отлично от нуля. После повторений процедуры, состоящей в умножении на и изменении порядка суммирования, получаем

Умножим обе части этого уравнения на и проинтегрируем по 0 от 0 до

Используя тождество легко показать, что

Из (4.5) и (4.6) сразу же получаем

Эти интегралы легко вычислить для любых заданных

Общий же метод, частным случаем которого мы только что воспользовались, состоит в следующем.

Пусть нам задан процесс случайного блуждания на множестве неотрицательных целььх чисел с матрицей однбшагобых переходных вероятностей вида

где при (Отметим для будущих ссылок, что ни один из результатов, которые мы получим ниже в этом параграфе, не зависит от условий гл Рассмотрим следующую систему уравнений:

с начальными условиями Поскольку при всех ясно, что последовательно определяются из формулы (4.9) и что является полиномом от х степени в точности Далее мы воспользуемся теоремой, доказательство которой выходит за рамки этой книги и которая устанавливает следующий факт. Существует неубывающая и непостоянная функция определенная на отрезке такая, что

О функциях обладающих свойством (4.10), говорят, что они являются ортогональными полиномами относительно распределения на отрезке Функция единственна с точностью до аддитивной постоянной. Эта общая теорема позволяет получить явные выражения для вероятностей . В самом деле, учитывая то, как мы задали уравнения (4.9) можно переписать в виде

Умножая обе части на а: и подставляя это в (4.11), получаем

Продолжая таким же образом, переходим к соотношениям

Умножая обе части на и интегрируя на интервале по мы находим, воспользовавшись соотношением ортогональности (4.10), что

откуда следует доказываемая формула

Как мы уже отмечали, приведенная процедура напоминает метод диагонализации из § 1. Действительно, соотношения (4.9) просто означают, что для каждого х бесконечномерный вектор является, формально, собственным вектором матрицы (4.8), соответствующим собственному значению х. Поскольку мы имеем дело с континуумом собственных значений, естественно предположить, что представление дискретной суммой, аналогичное полученному в § 1, 2, не имеет места. Оказывается, однако, что соответствующее обобщение спектрального представления (1.1) дается формулой (4.14). В его основе лежит существование «непрерывного спектра» в дополнение к дискретному (возможно, пустому), что является характерным для бесконечных матриц. Строгое математическое рассмотрение этих вопросов выходит за рамки настоящей книги. Тем не менее мы рассмотрим еще несколько иллюстративных примеров, связанных с этой теорией.

Может показаться, что изложенный метод, сколь ни элегантна его теория, не имеет практической ценности. Действительно, чтобы найти необходимо определить полиномы и распределение относительно которого нами установлен до сих пор лишь факт существования. В действительности же положение дел много лучше, чем это намечается указанными трудностями. Прежде всего мы располагаем хорошо разработанной теорией ортогональных полиномов, которая позволяет получить важные теоретические результаты, касающиеся поведения вероятностей и в частности их отношений, при

С другой стороны, процессы случайного блуждания, возникающие в конкретных задачах, имеют матрицы переходных вероятностей более специального вида, чем (4.8). Например, может быть, что или же для некоторого . В этих случаях, как впрочем и в других, можно показать, что полиномы являются комбинациями различных классических систем полиномов, теория которых хорошо развита.