§ 3. ИММИГРАЦИЯ И РОСТ ПОПУЛЯЦИЙ

Модель, изучаемая в данном параграфе, описывает однотипную популяцию, развивающуюся из исходной популяции, а процесс роста зтой популяции соответствует марковскому ветвящемуся процессу. Кроме того, в дополнение к самопроизвольному росту популяции имеется приток иммигрантов того же типа, которые в дальнейшем развиваются, как и остальные члены популяции. Процесс поступления иммигрантов в общем случае является случайным. Для определенности опишем процесс, являющийся моделью роста популяций бактерий.

Рассмотрим колонию бактерий, состоящую из индивидуумов. Предположим, что каждая бактерия независимо от остальных порождает поколение потомков, которые в свою очередь производят следующее поколение потомков и т. д. Рост популяции, развивающейся из одной бактерии, описывается марковским ветвящимся процессом с непрерывным временем. Пусть вероятностная производящая функция размера в момент популяции, развившейся из одной бактерии. Очевидно, размер популяции, развившейся из колонии, имевшей в момент 0 размер является случайной величиной с производящей функцией Предположим далее, что иммиграция новых бактерий происходит в моменты Каждый иммигрант порождает потомство таким же образом, как и исходные бактерий, независимо от них и от других бактерий. Размер в момент популяции,

порожденной иммигрантом, прибывшим в момент имеет производящую функцию Общий размер популяции в момент имеет производящую функцию

поскольку каждая бактерия развивается независимо от других. Предположим теперь, что иммиграция происходит не в фиксированные моменты а в моменты, образующие пуассоновский поток с параметром Наша задача — выразить производящую функцию общего размера популяции через

Моменты иммиграции являются случайными величинами, и их число за отрезок времени также случайная величина с пуассоновским распределением, имеющим параметр Пусть - размер популяции к моменту развившейся из одного иммигранта, поступившего в колонию в момент тогда

есть число всех бактерий в момент «предками» которых были иммигранты, поступившие за отрезок времени

Производящая функция величины может быть получена стандартным образом с помощью наложения условия на и формулы полной вероятности:

Из результатов § 2 гл. 7 известно, что совместное распределение на моментов поступления при известном их числе совпадает с распределением порядковых статистик независимых равномерно распределенных на случайных величин. Поэтому

поскольку интегрируемая функция симметрична относительно Далее, поскольку различные иммигранты создают

независимо развивающиеся популяции, имеем

Следовательно,

Подставляя эту формулу в (3.1) и учитывая, что является пуассоновским процессом, получим

Следовательно, производящая функция общего размера популяции в момент равна

Пример. В качестве примера предположим, что каждая отдельная бактерия развивается в соответствии с процессом Юла с параметром (см. § 2 гл. 7); и размер популяции в момент развившейся из одной бактерии, имевшейся в момент имеет распределение

где

Производящая функция для процесса Юла равна

В соответствии с (3.2) производящая функция размера популяции, развившейся из иммигрантов, имеет вид

Если учесть исходную популяцию бактерий, то в соответствии с (3.3) производящая функция общего размера популяции в момент имеет вид

Средний размер популяции в момент равен или

Моменты более высоких порядков можно найти, последовательно дифференцируя производящую функцию в точке