§ 2. ТЕОРИЯ ФРОБЕНИУСА ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ МАТРИЦ

Теория положительных матриц, развитая Фробениусом, играет важную роль во многих разделах теории вероятностей, в частности в анализе матриц переходных вероятностей цепей Маркова.

Предварительные замечания

Если каждый элемент некоторой квадратной матрицы неотрицателен, то мы будем писать

если и по крайней мере один элемент то мы будем писать и называть А положительной матрицей. Если все то этот факт мы будем обозначать . Такими же обозначениями мы будем пользоваться и для векторов. Именно если означает, что для всех означает, что хотя бы для одного I, и, наконец, означает, что для всех Мы также будем писать если Ясно, что из следует, что а из следует, что

Пусть рассмотрим множество всех действительных чисел , каждому из которых соответствует вектор такой, что

Пусть легко показать, что конечно, а в случае когда , еще и положительно. В самом деле, если то из условий следует, что а также что хотя бы для одного Отсюда получаем неравенство Если то ; это означает, что число (Ему соответствует вектор

Предположим теперь, что для матрицы Для соотношение невозможно, так как . С другой стороны, из равенства для некоторого следует, что Таким образом, существует вектор такой, что Пусть множество индексов положительных элементов вектора очевидно, не зависит от выбора вектора Пусть вектор таков, что если если Определим как множество индексов положительных координат вектора это множество не зависит от выбора вектора у и, кроме того, Поскольку то Рассуждая точно так же, легко убедиться, что

причем здесь все включения являются строгими. Теперь уже не составляет труда показать, что Действительно, для но так как любой вектор может быть представлен как разность двух строго положительных векторов, то для любого что эквивалентно равенству нулю матрицы

Первая теорема Фробениуса

Теорема 2.1. Если , то (а) существует вектор такой, что для всех собственных значений X матрицы А, отличных от правые собственные векторы матрицы А, соответствующие образуют одномерное подпространство, т. е.

Доказательство, (а) По определению существует последовательность и векторы такие, что

Так как значения компонент всех векторов х принадлежат отрезку [0, 1], то с помощью процесса диагонализации мы можем построить последовательность положительных целых чисел такую, что

где Из (2.1) следует, что Кроме того, если мы заменим в неравенстве индекс на и устремим то придем к неравенству Мы покажем, что на самом деле Действительно, если это не так, то Умножая обе части этого неравенства слева на А, получаем неравенство где Это неравенство сохранится и тогда, когда мы прибавим к достаточно малое положительное число Нормируя вектор так, чтобы сумма его координат равнялась единице, мы убеждаемся в том, что принадлежит множеству Но последнее противоречит определению Таким образом, Поскольку то т. е. Этим завершается доказательство утверждения

(б) Пусть где Координатная запись равенства имеет вид

Отсюда для абсолютных величин имеем

т. е.

Нормируя вектор так, чтобы сумма его координат равнялась единице (напомним, что мы видим, что принадлежит Тогда по определению имеем Чтобы показать,

что введем матрицу где I — единичная матрица, положительное число, малое настолько, что Поскольку наибольшее по абсолютной величине положительное собственное значение матрицы А, то является таковым для матрицы Повторяя те же рассуждения, что и при доказательстве неравенства для матрицы и ее собственного значения получаем неравенство Но, с другой стороны,

так что из следует Последнее означает, что X действительно и положительно. Таким образом, имеет место равенство что противоречит исходному предположению ( Предположим, что и не существует такой константы с, что Поскольку А — действительная матрица, векторы координатами которых служат соответственно действительные и мнимые части координат вектора у, являются собственными векторами матрицы А, соответствующими Поскольку для всех констант с, то по крайней мере один из векторов и или не представим в виде Поэтому мы можем считать вектор у действительным. Так как можно выбрать такое число что но не при этом Отсюда как и в доказательстве утверждения с необходимостью получаем: Это противоречит выбору

Отметим попутно несколько простых фактов. Если то можно утверждать, что существует вектор такой, что а подпространство левых собственных векторов, соответствующих одномерно. Следуя доказательству теоремы 2.1, положим где для некоторого Легко убедиться в существовании вектора такого, что в одномерности подпространства левых собственных векторов, отвечающих А, а также в том, что если А — любое собственное значение матрицы А, не равное А, то Но отсюда следует, что если тогда как по теореме если собственное значение А отлично от Следовательно,

Теорема 2.2. Если матрица такова, что для некоторого целого числа то для нее остаются справедливыми утвероюдения предыдущей теоремы.

Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 2.1, мы можем найти вектор такой, что Если

то Умножая обе части этого неравенства слева на приходим к соотношению где Это противоречит определению доказательство теоремы 2.1); следовательно, Отсюда получаем соотношение Так как то

Для доказательства неравенства в пункте (б) теоремы 2.1 нам было бы достаточно положительности (не строгой) матрицы А. Поэтому это неравенство выполняется и в условиях настоящей теоремы. Предположим, что для некоторого вектора Тогда Если мы покажем, что является наибольшим по модулю положительным собственным значением матрицы то теорема 2.1 сразу же приведет нас к противоречию. Так как то имеет наибольшее по модулю положительное собственное значение по теореме 2.1, которому соответствует собственный вектор с положительными компонентами. В таком случае, если не является наибольшим по модулю положительным собственным значением матрицы то матрица имеет по крайней мере два положительных собственных значения которым соответствуют собственные векторы Но это невозможно; действительно, пусть таково, что но не 0. Тогда . С другой стороны, Поскольку вектор имеет по крайней мере одну нулевую компоненту, в то время как все компоненты вектора положительны, мы приходим к противоречию.

Тот факт, что все собственные векторы матрицы А являются собственными векторами матрицы сводит доказательство утверждения (в) к повторению доказательства утверждения (в) теоремы 2.1.

Продолжая изучение матриц для которых при некотором целом введем матрицу ранга 1 по формуле

где правый собственный вектор, введенный в доказательстве теоремы левый собственный вектор, принадлежащий и нормированный условием Такая матрица обладает следующими свойствами:

Первые два свойства проверяются непосредственно; что же касается третьего, то заметим, что для любого вектора х имеем

так что аналогично т. е.

Приведем без доказательства следующий факт. Пусть В — квадратная матрица; положим

где элементы матрицы В. Матрица В имеет собственное значение Я, такое, что для всех других собственных значений Я матрицы В имеет место неравенство

часто называют спектральным радиусом матрицы. Мы воспользуемся этим понятием при доказательстве следующей теоремы.

Теорема 2.3. Если для некоторого целого то

где и имеют прежний смысл.

Доказательство. Покажем сначала, что если Я является собственным значением матрицы то Действительно, предположим, что при некотором ; тогда

откуда следует, что всякое собственное значение матрицы В является собственным значением матрицы то же можно сказать о собственных векторах. Из теоремы 2.2 следует, что либо либо Предположим, что тогда в силу одномерности собственного подпространства, соответствующего матрицы А, а следовательно, и матрицы В имеет место соотношение С другой стороны, Получаем противоречие. Значит, спектральный радиус матрицы В удовлетворяет неравенству Пусть положительное число, такое, что поскольку

то для достаточно больших Используя свойства (II) и (III) матрицы получаем

или

Так как для достаточно больших то

а следовательно,

Вторая теорема Фробениуса

Теорема 2.4. Пусть имеет тот же смысл, что и в теореме 2.1; тогда: является собственным значением матрицы А и ему соответствует собственный вектор если — любое другое собственное значение матрицы А, то среднее

сходится, если если X — собственное значение матрицы то является корнем из единицы, а суть собственные значения матрицы А.

Доказательство, (а) Пусть матрица, все элементы которой равны единице; тогда при любом Пусть Выберем таким, что тогда из следует, что

Таким образом, если значение соответствующее матрице то является возрастающей функцией аргумента 6. Заметим, что есть значение соответствующее самой матрице А. По теореме 2.1 существует вектор нормированный условием такой, что

Пусть последовательность положительных чисел, сходящаяся к нулю. Как и при доказательстве теоремы 2.1, мы

можем выделить последовательность целых чисел такую, что где вектор Ясно, что Поскольку

в пределе при получаем равенство Но из доказательства пункта (б) теоремы 2.1 следует, что значит,

Доказательство утверждения (б) совпадает с доказательством для случая

Доказывая утверждения (в) и мы можем предположить без потери общности, что так как если то можно разделить каждый элемент матрицы А на Так как то Записав это соотношение в координатной форме, мы сразу же найдем, что

Таким образом, элементы матриц равномерно ограничены.

Пусть для некоторого т. е. есть линейное пространство неподвижных точек матрицы линейное пространство, совпадающее с областью значений матрицы Положим еще

Ясно, что является замкнутым линейным пространством, таким, что для каждого х из

и следовательно, Мы покажем также, что сходится для каждого х из К и что -мерное векторное пространство можно представить в виде прямой суммы пространств

Этим мы докажем утверждение

Покажем сначала, что для всякого Поскольку при некотором х,

стремится к 0 при в силу того, что элементы матриц равномерно ограничены.

Чтобы показать, что каждый вектор х можно представить в виде суммы вектора из и вектора из К, разложим х в сумму вида

Так как элементы матриц равномерно ограничены, то ограничены и компоненты векторов Поэтому существует последовательность положительных целых чисел и вектор такие, что

Поскольку

то

Кроме того,

откуда следует, что Так как К — замкнутое линейное пространство и элементы векторов равномерно ограничены, то при Итак, где и доказательство утверждения (в) закончено.

(г) Мы знаем, что существует вектор такой, что Предположим сначала, что Пусть теперь при некотором тогда

и, таким образом,

Но если Итак, следовательно,

Это означает, что существуют такие константы что

Обозначим через вектор . Умножая соотношение на и суммируя по получаем

В то же время суммирование по приводит к равенству

откуда следует, что

Далее,

откуда следует, что Итак, является собственным значением матрицы А при Поскольку число собственных значений матрицы А конечно, Я должно быть корнем из единицы.

Пусть теперь но не Проведя в случае надобности перенумерацию строк и столбцов матрицы А, мы можем считать, что , где Так как то из соотношения вытекает, что

где порядки квадратных матриц равны соответственно Вектор является левым собственным вектором матрицы Пусть — собственное значение матрицы тогда, если Я является собственным значением матрицы то задача сводится к рассмотренному выше случаю. Если же Я не является собственным значением матрицы то оно должно быть собственным значением матрицы Но собственные значения матрицы являются собственными значениями матрицы А и поэтому не превышают по модулю единицы. В то же время, так как то она имеет наибольшее положительное собственное значение, являющееся верхней границей для абсолютных величин всех остальных ее собственных значений. Так как то наибольшее собственное значение матрицы равно единице. Теперь предыдущие рассуждения применимы к матрице именно: либо имеет левый собственный вектор со всеми положительными координатами, соответствующий собственному значению 1, либо

имеет вид (после соответствующей перенумерации строк и столбцов)

Продолжая таким образом, мы придем за конечное число шагов к ситуации, когда существует левый собственный вектор соответствующий собственному значению 1.

Приводимые ниже следствия содержат полезную информацию относительно спектрального радиуса положительной матрицы А. Первое из них представляет собой другую формулировку утверждений (а) и (б) теоремы 2.4.

Следствие 2.1. Если то наибольшее по абсолютной величине собственное значение является действительным неотрицательным и может быть охарактеризовано как где

Следствие 2.2. Если и существует вектор что то является верхней границей для

Доказательство. Умножая слева на А обе части неравенства получаем Легко видеть, что и в общем случае

откуда сразу же следует неравенство

Это неравенство приводит к оценке

Следствие 2.3. Если то

Доказательство. Так как из следует, что то