В. Процесс чистого рождения

Естественное обобщение пуассоновского процесса получим, допустив зависимость вероятности осуществления события в данный момент времени от числа событий, которые уже произошли; примером такого явления может служить воспроизведение живых организмов (отсюда и название процесса), когда при соответствующих условиях — избытке пищи, отсутствии смертности, отсутствии миграции и т. д. — вероятность рождения в данный момент прямо пропорциональна размеру популяции. Этот пример известен как процесс Юла.

Рассмотрим последовательность положительных чисел Определим процесс чистого рождения как марковский процесс, удовлетворяющий постулатам:

Постулат (3) введен только для удобства. В нем под подразумевается не размер популяции, а число рождений в интервале

Заметим, что левые части (1) и (2) равны соответственно (вследствие стационарности), так что и не зависят от

Определим

Точно так же, как и для пуассоновского процесса, можно вывести систему дифференциальных уравнений относительно при вида

с начальными условиями

В самом деле, если то, используя формулу полной вероятности, марковское свойство и постулат (4), получим

Далее, при имеем

или

Таким образом,

или

где, очевидно, равномерно поскольку ограничена конечной суммой не зависящей от

Деля на и переходя к пределу при получим соотношение (1.2), в котором, если быть точным, в левой части нужно писать правостороннюю производную. Однако, используя несколько более тонкие рассуждения, можно вывести такое же соотношение для левосторонней производной. В самом деле, из (1.3) сразу следует, что непрерывная функция Заменяя в соотношении на деля на и переходя к пределу при найдем, что каждая функция имеет левостороннюю производную, которая также удовлетворяет уравнению

Первое уравнение в (1.2) можно решить сразу и получить

Обозначим через время между рождениями. Тогда

и

Мы уже видели, что Следовательно,

т. е. имеет экспоненциальное распределение с параметром Из постулатов (1) — (4) можно вывести, что величины также имеют экспоненциальные распределения с параметрами и что они взаимно независимы (см. § 3 гл. 8, где дано формальное доказательство этого факта). Следовательно, характеристическая функция величины равна

В случае пуассоновского процесса, когда при всех из (1.4) видно, что величина распределена в соответствии с гамма-распределением порядка со средним

При конкретных значениях можно последовательно проинтегрировать уравнения (1.2):

откуда ясно, что все

Но еще остается возможность того, что

Чтобы гарантировать регулярность процесса, т. е. дать критерий того, что будет Для всех мы должны ограничить условием

Доказательство этого дано в книге Феллера 1) и здесь не приводится. Интуитивные соображения в пользу этого результата следующие. Время между последовательными рождениями, как показано ниже, распределено экспоненциально с параметром Следовательно, величина У, Равна среднему времени до того момента, когда популяция станет бесконечной. Но есть вероятность того, что

Если то среднее время, за которое популяция становится бесконечной, конечно. Поэтому правдоподобно, что при этом для всех вероятность того, что положительна.