§ 2. ДВА ПРОСТЫХ ПРИМЕРА СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Данная книга может служить введением в различные направления случайных процессов. Теория случайных процессов имеет дело с исследованием структуры семейств случайных величин где параметр, принадлежащий соответствующему множеству Иногда, когда это не приводит к недоразумениям, мы будем писать вместо

Реализацией, или выборочной функцией, случайного процесса является функция, ставящая в соответствие каждому одно из возможных значений Множество параметров может быть дискретным, т. е. а может при этом представлять исходы последовательных испытаний, таких, как результаты бросаний монеты, последовательные реакции объекта на изучающий эксперимент или последовательные наблюдения некоторой характеристики популяции и т. д.

Величина может быть одномерной, двумерной, -мерной или иметь более общую природу. В случае, когда является исходом бросания кости, возможные ее значения образуют множество а одной из типичных реализаций процесса является последовательность Она показана на рис. 1, где ординатой при является значение В этом примере случайные величины взаимно независимы, но в общем случае величины являются зависимыми.

Случайные процессы, у которых особенно важны в приложениях. В этом случае обычно интерпретируется как время,

Здесь мы ограничимся весьма кратким обсуждением некоторых понятий, относящихся к случайным процессам, и двумя примерами.

Рис. 1.

В конце главы дана сводка различных типов случайных процессов. Некоторые из них будут подробно изучаться в последующих главах.

Пример 1. Весьма важным примером является известный процесс броуновского движения. Этот процесс характеризуется следующими свойствами:

(а) Пусть Тогда приращения независимые в совокупности д. с. в. Говорят, что процесс, обладающий таким свойством, является процессом с независимыми приращениями, выражая тем самым тот факт, что изменения на неперекрывающихся интервалах времени являются независимыми д. с. в.

(б) Вероятностное распределение величин если зависит только от (и не зависит, например, от .

В — положительная постоянная.

Пусть Заметим, что , где В — фиксированное положительное число. Можно доказать, что если то условное вероятностное распределение величины при известных значениях равно (см. гл. 10)

История возникновения этого случайного процесса началась с наблюдений Р. Броуна в 1827 г., заметившего, что маленькие частицы, помещенные в жидкость, совершают непрерывное беспорядочное движение. В 1905 г. А. Эйнштейн объяснил это явление тем, что наблюдаемые частицы подвержены непрерывным соударениям с молекулами окружающей среды. Выведенные. Эйнштейном аналитические результаты были позднее проверены экспериментально и обобщены другими физиками и математиками.

Пусть расстояние броуновской частицы от начальной точки в момент Смещение за интервал времени можно рассматривать как сумму большого числа малых смещений. В этой ситуации применима центральная предельная теорема, поэтому естественно ожидать, что имеет нормальное распределение. Аналогично естественно предположить, что распределения величин совпадают при любом если среда находится в равновесии. Наконец, интуитивно ясно, что смещение должно зависеть только от не от момента начала наблюдения.

Процесс броуновского движения (называемый также винеровским процессом) играет фундаментальную роль при изучении множества случайных процессов других типов. Одномерный процесс броуновского движения будет более полно изучен в гл. 10.

Пример 2. Другим важным примером случайного процесса, непрерывного по времени , является пуассоновский процесс. Его выборочная функция представляет собой число регистрации наступления некоторого события за период от 0 до текущего момента времени Очевидно, всякая возможная реализация есть неубывающая ступенчатая функция.

Реализация, изображенная на рис. 2, соответствует первому наступлению события в момент второму — в момент третьему — в момент и т. д. Общее число наступлений события возрастает только единичными скачками, а Конкретными примерами наблюдаемых величин, образующих подобного рода процессы, являются: число фотонов, испускаемых веществом при радиоактивном распаде, число телефонных вызовов из данного района, число происшествий на данном перекрестке, число ошибок на странице машинописного текста, число выходов из строя некоторого механизма и число поступивших заявок на обслуживание.

Рассмотрение этих процессов как пуассоновских основывается на законе редких событий. Представим себе большое число испытаний Бернулли с малой вероятностью успеха (наступления события) и постоянным средним числом успехов. При этих условиях известная теорема утверждает, что число наступлений события подчиняется закону Пуассона. В случае радиоактивного распада пуассоновское приближение дает превосходное согласие с

ментом, если время наблюдения много меньше периода полураспада радиоактивного вещества.

Мы постулируем, что число наступлений события в некотором интервале не зависит от числа наступлений этого события в любом другом не пересекающемся с ним интервале (см. свойство (а) предыдущего примера).

Рис. 2.

Предположим также, что с. в. зависит только от и не зависит от или от значения Сформулируем дальнейшие постулаты, согласующиеся с интуитивным описанием, данным выше:

1. Вероятность того, что за период времени продолжительности произойдет по меньшей мере одно событие, есть

II. Вероятность того, что за время произойдет два или более события, есть о

Постулат II равнозначен исключению возможности более чем однократного одновременного наступления события. В приведенных нами физических процессах это условие обычно выполняется.

Пусть обозначает вероятность того, что за время произойдет ровно событий, т. е.

Условие II можно записать в виде

и, очевидно,

В силу предположения о независимости имеем

и поэтому

Из постулата I следует, что Поэтому вероятность того, что событие не наступит в интервале удовлетворяет дифференциальному уравнению

общее решение которого имеет вид Константа с определяется из начального условия из которого следует, что Итак,

Найдем теперь для любого Легко видеть, что

По определению Из постулата I следует, что

поскольку, очевидно, . С помощью (2.2) мы можем переписать в виде

Отсюда следует, что

или, формально,

при начальных условиях

Для решения уравнений (2.3) введем функции

Подставляя в (2.3), получаем

где начальные условия остаются теми же: Последовательно решая уравнения (2.4), получаем

Следовательно, имеем

Другими словами, при каждом подчиняется распределению Пуассона с параметром . В частности, среднее число наступлений события за время равно

Часто пуассоновский процесс возникает в форме, где временной параметр заменяется соответствующим пространственным параметром. Следующий формальный пример иллюстрирует эту ситуацию. Рассмотрим систему точек, распределенных в пространстве обозначает евклидово пространство размерности 1). Пусть обозначает число точек, содержащихся в области пространства Предположим, что является случайной величиной. Совокупность случайных величин где область изменения индекса состоит из всех возможных подмножеств пространства представляет собой однородный пуассоновский процесс, если удовлетворяются следующие условия:

(i) количества точек в неперекрывающихся областях являются независимыми с. в.;

(ii) для любой области конечного объема с. в. подчиняется распределению Пуассона со средним где объем области Параметр К фиксирован и в некотором смысле служит мерой интенсивности распределения, не зависящей от размера и формы.

Пространственные пуассоновские процессы возникают при рассмотрении распределений звезд или галактик, распределений растений и животных, бактерий на предметном стекле и т. д. Мы вернемся к этим вопросам в гл. 12 для более глубокого их изучения.