§ 3. ПРАВЫЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ

Для специальных классов марковских цепей обычно удается получить более сильные результаты, касающиеся свойства возвратности, задач о времени пребывания, нахождения законов распределения различных функционалов от процессов и др. В этом параграфе мы получим уточнение свойств правых регулярных последовательностей (теорема 5.2 гл. 5) для марковской цепи

Если марковская цепь является неприводимой и возвратной, то единственным правым регулярным вектором является постоянный вектор (теорема 5.2 гл. 5). Если же марковская цепь описывает последовательность сумм независимых случайных величин, то этот результат можно распространить на непериодический невозвратный случай, если мы потребуем, чтобы правый регулярный вектор был ограниченным. Более точно, мы докажем следующее.

Теорема 3.1. Если марковская цепь с матрицей переходных вероятностей неприводима, и если последовательность правая регулярная, т. е. удовлетворяет условиям

и

причем ограничена, то при всех

Доказательство. Пусть ограниченная последовательность удовлетворяет условиям (3.1) и (3.2). Пусть любое состояние, отличное от нулевого и достижимое из него. Тогда существует такое , что . Зафиксируем и положим

Используя пространственную однородность процесса, мы можем написать

т. е. последовательность также удовлетворяет Следовательно, удовлетворяет условиям (3.2). Очевидно, ограничена, поскольку ограничена Пусть

Так как ограничена, мы можем выбрать последовательность целых чисел для которой

Опять же в силу ограниченности из последовательности можно выбрать подпоследовательность такую, что существует и). В свою очередь из можно выбрать подпоследовательность для которой существует предел Затем из выбираем подпоследовательность такую, что существует Продолжая таким образом, мы получим ряд последовательностей каждая из которых является подпоследовательностью предыдущей. Существует последовательность, а именно которая является подпоследовательностью каждой из последовательностей

начиная с некоторого члена. Действительно, является подпоследовательностью последовательности начиная по крайней мере с (Построение последовательности носит название процесса диагонализации.) В силу этого свойства и факта существования соответствующих пределов мы можем утверждать, что

существует для каждого

По построению (см. (3.4)) имеем

а в силу (3.3)

Как мы уже видели,

Переходя к пределу в обеих частях при получаем

Мы сейчас покажем, что в правой части соотношения (3.7) можно перейти к пределу под знаком суммы. Для этого нам нужно показать, что для любого заданного существует целое число такое, что

при условии, что Выберем настолько большим, что

Затем выберем таким, что

при и всех Тогда при

Установив правомерность перехода к пределу под знаком суммы, из (3.7) получаем

т. е. 2. удовлетворяет условию (3.2), хотя не обязательно условию (3.1). Последовательно применяя соотношение (3.8), получаем

Обращаясь к (3.6), мы видим, что предыдущее соотношение при

Левая часть в (3.9) представляет собой взвешенное среднее чисел, каждое из которых Поэтому равенство (3.9) может иметь место только в том случае, если для всех таких, что при некотором величина равна . В частности, по определению

для любого положительного целого . В силу можно выбрать таким, чтобы все неравенства

выполнялись одновременно. Складывая эти неравенства, получаем

Так как ограничены, то существует такое что для всех Тогда, очевидно,

Поскольку это неравенство должно выполняться при любом целом и любом с необходимостью должно быть отрицательным либо равным нулю. Таким образом, или

для всех и любого достижимого из нуля.

До сих пор мы нигде не использовали условия (3.1), т. е. того факта, что Нам потребовалось только, чтобы были ограничены. Следовательно, мы можем провести все предыдущие рассуждения для последовательности у которой Разумеется, остается ограниченной и удовлетворяет (3.2). В этом случае

для всех и всех состояний ко, достижимых из нулевого состояния. Сравнивая (3.10) и (3.11), получаем

для всех и всех состояний ко, достижимых из нулевого состояния. В частности,

для всех состояний ко, достижимых из нулевого состояния. Теперь мы впервые за все доказательство воспользуемся предположением о неприводимости марковской цепи. Это предположение гарантирует, что все состояния достижимы из нулевого состояния. Следовательно, (3.12) выполняется для всех и все члены последовательности равны константе

В заключение этой главы мы применим теорему 3.1 для доказательства обобщенной теоремы восстановления для сумм независимых одинаково распределенных целочисленных случайных величин. Мы будем далее предполагать, что суммы являются непериодическими д. с. в., т. е. что наименьшая аддитивная группа, порождаемая целыми числами для которых есть группа всех целых чисел.

Мы дадим прямое доказательство теоремы восстановления; однако несколько вспомогательных результатов, получаемых попутно, представляют самостоятельный интерес, а методы их доказательства типичны для задач о флуктуациях в теории сумм независимых д. с. в.

Теорема 3.2. Если являются непериодическими то

Для удобства разобьем доказательство на несколько этапов. Для любой величины а положим и Пусть

Поскольку последовательность не возрастает, предел

существует, хотя возможно, что Однако, поскольку усиленный закон больших чисел гарантирует нам, что

Следовательно, конечно с вероятностью 1.

Далее,

Так как независимы и одинаково распределены, то последнее слагаемое есть не что иное, как

Устремляя получаем

(Читателю рекомендуется доказать возможность перехода к пределу под знаком математического ожидания.) Очевидно,

откуда с учетом (3.16) получаем

Наши рассуждения имеют одно слабое место: мы не знаем a priori, что а только в этом случае соотношение (3.16) имеет смысл.

Чтобы восполнить этот пробел, нам понадобится следующая теорема, имеющая и самостоятельный интерес.

Теорема 3.3. Пусть неотрицательная целочисленная с. в., т. е. ее характеристическая функция. Предположим, что сходится к а при Тогда

Доказательство. Выделяя действительную и мнимую части выражения мы заключаем, что

Для любого фиксированного найдем наибольшее целое число удовлетворяющее условию

В силу (3.18) сумма равномерно ограничена при достаточно но малых 0. Представим эту сумму в виде

Оценим снизу используя тот факт, что является убывающей функцией при (см. стр. 178):

Из определения следует, что при Тогда предыдущее неравенство дает

С другой стороны, для второй суммы в (3.19) имеем

Но для всех таких, что Следовательно,

Но при в соответствии с (3.18), и поэтому ее среднее значение стремится к нулю:

(Читателю следует доказать это.)

Из полученных оценок следует, что вторая сумма в (3.19) стремится к нулю при Поэтому сумма

равномерно ограничена при Очевидно, возрастает до бесконечности при отсюда и следует сходимость ряда Чтобы

завершить доказательство теоремы 3.3, мы должны показать, что

Для этого зададим и выберем таким, что Последнее возможно, поскольку, как мы уже показали, ряд сходится. Далее,

Так как то вторая и третья суммы ограничены величиной Отсюда

При фиксированном сумма в правой части стремится к нулю, так как каждое ее слагаемое стремится к нулю. Поэтому

Выражение в левой части представляет собой фиксированное неотрицательное число; можно выбрать произвольно малым. Отсюда вытекает справедливость соотношения (3.20).

Теперь мы можем дать строгое доказательство соотношения (3.17). Введем характеристические функции случайных величин

и

Отметим, что случайная величина может принимать только неотрицательные целые значения. Очевидно, с. в. независимы. Кроме того, и одинаково распределены, так как определяется через точно так же, как определяется через

Так как соотношение неявно фигурирует в (3.15)), то

Из определений следует, что и при (сходимость понимается как сходимость в смысле распределений). В силу критерия сходимости Леви (стр. 16) имеем

Но

Так как

мы можем записать предыдущее соотношение в виде

Подставляя это соотношение в (3.21), получаем

Поделив обе части на и устремив получаем

так как (Формальное доказательство этого предельного соотношения проводится так же, как и доказательство соотношения (3.20) в теореме 3.3.) Очевидно, и из (3.22) следует, что

Так как неотрицательная д. с. в., мы можем воспользоваться теоремой 3.3, из которой следует, что предел в (3.23) равен таким образом,

Нам потребуется следующая лемма.

Лемма 3.1. Пусть есть вероятность того, что процесс отправляясь из состояния на первом шаге окажется в одном из положительных

состояний и после этого никогда не окажется ни в одном отрицательном состоянии. При вероятности полагаются равными нулю. Тогда

Доказательство. Из самого определения вероятностей следует, что

Далее,

Лемма доказана.

Пусть

т. е. есть вероятность, отправляясь из состояния оказаться на положительной оси.

Рассмотрим те реализации процесса, которые выходят из состояния и включают в себя неположительные состояния. По условию теоремы поэтому в силу закона больших чисел такая реализация с вероятностью 1 может быть в неположительных состояниях лишь конечное число раз. Вероятность того, что процесс в последний раз находился в неположительном состоянии на шаге, равна последнее равенство следует из определения ей для Перебирая все возможности, связанные с последним моментом пребывания в неположительных состояниях, получаем важное соотношение:

( - символ Кронекера). Теперь мы можем доказать теорему восстановления. Доказательство теоремы 3.2. Из определения следует, что

Так как (лемма 1.1), то с помощью диагонализации (см. доказательство теоремы 3.1) мы можем выделить подпоследовательность такую, что предел

существует для каждого

В соотношении (3.25) перейдем к пределу при стремящемся к бесконечности по значениям подпоследовательности это даст

причем ограниченная последовательность. (Читателю рекомендуется самостоятельно убедиться в возможности предельного перехода под знаком суммы.)

В силу теоремы 3.1 ограниченная регулярная последовательность является постоянной; пусть все ее члены равны константе а. Из (3.24) имеем

Так как и Ряд сходится, то

Но, очевидно, Следовательно, Если имеется другая последовательность обладающая тем свойством, что сходится при всех то точно так же можно показать, что предел Таким образом, мы установили справедливость соотношения (3.13). Предельное соотношение (3.14) доказывается аналогичным образом.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ЗАМЕЧАНИЯ

В значительной степени источником материала этой главы послужила элегантная книга Спицера [1]. Превосходными руководствами по теории вероятностей, содержащими изложение предельных теорем для сумм независимых случайных величин на значительно более высоком уровне, являются монографии Гнеденко и

Колмогорова [2], Лоэва [3] и Реньи [4]. Современное полное изложение предельных теорем теории вероятностей в различных аспектах читатель найдет во втором томе Книги Феллера [5].

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)