§ 6. ПРИМЕРЫ ПРОЦЕССОВ РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ

Пример 1. Линейный рост с иммиграцией. Процесс рождения и гибели называется процессом с линейным ростом, если где Такие процессы возникают при изучении биологического воспроизведения и роста популяций. Если состояние описывает текущий размер популяции, то средняя мгновенная интенсивность роста равна

Аналогично вероятность того, что состояние процесса уменьшится на 1 за малый промежуток времени, равна

Коэффициент соответствует естественному приросту популяции размера в то время как второй коэффициент а можно интерпретировать как инфинитезимальную интенсивность роста популяции за счет внешнего источника, такого, как иммиграция. Коэффициент который равен средней инфинитезимальной интенсивности гибели в популяции размера имеет очевидную интерпретацию.

Если подставить эти значения в (5.3), то получим

Если теперь умножить уравнение на и просуммировать уравнения, получим, что среднее

удовлетворяет дифференциальному уравнению

с начальным условием если Решение этого уравнения имеет вид

Второй момент или дисперсия могут быть найдены аналогично. Интересно заметить, что при если в то время как при средний размер популяции при больших примерно равен

Пример 2. Образование очереди. Процесс образования очереди является процессом, в котором клиенты прибывают в некоторое определенное место (обслуживающий прибор), где им оказываются услуги какого-либо рода, например окно кассира в банке или место около кассира в магазине самообслуживания. Предполагается, что интервалы между прибытиями клиентов (поступлениями требований) и время, которое проведено данным клиентом на обслуживании, управляются вероятностными законами.

Длину очереди в данный момент времени обозначим через

Если в описании общего процесса рождения и гибели положить для всех то получим простой частный случай процесса обслуживания с непрерывным временем. Состояние системы при этом интерпретируется как длина очереди, в которую поступают клиенты через независимые друг от друга интервалы, имеющие экспоненциальное распределение с параметром , и для которой продолжительность времени обслуживания очередного клиента является случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение с параметром который может зависеть от длины очереди. После завершения каждого акта обслуживания длина очереди убывает на 1, а при каждом поступлении очередь увеличивается на 1. Классический случай одноканальной системы (системы с одним обслуживающим прибором) соответствует т. е. каждое время обслуживания имеет одно и то же экспоненциальное распределение с параметром не зависящим от длины очереди.

Классическая модель телефонного узла может быть сформулирована как система обслуживания, описываемая процессом рождения и гибели, с бесконечным числом обслуживающих приборов, каждый из которых имеет экспоненциально распределенное время обслуживания с одним и тем же параметром так что Это обосновывается следующим образом. Предположим, что очередь состоит из клиентов, тогда, поскольку число обслуживающих приборов неограничено, все клиенты одновременно обслуживаются. Далее, времена обслуживания каждого из них независимы и экспоненциально распределены с параметром Отсюда следует, что вероятностное распределение времени до того момента, пока по крайней мере один из клиентов закончит обслуживаться (т. е. времени до момента уменьшения очереди на 1), также является экспоненциальным, но с параметром (читатель должен доказать это).

Кроме двух рассмотренных частных случаев, можно рассмотреть другие многочисленные модели обслуживания, выбирая соответствующим образом параметры Например, система с обслуживающими приборами, каждый из которых имеет экспоненциально распределенное время обслуживания с одним и тем же параметром соответствовала бы случаю при при

Для случая одного обслуживающего прибора при стационарное распределение легко находится. Действительно, в этом

случае

откуда

т. е. получили геометрическое распределение со средним

Для модели телефонного узла и легко получить, что

Получили известное пуассоновское распределение со средним

Как и в примере 1, легко показать, что

удовлетворяет уравнению

решение которого имеет вид

Если положить то которое равно среднему значению стационарного распределения, приведенному выше.

Пример 3. Некоторые генетические модели. Рассмотрим популяцию, состоящую из индивидуумов, которые имеют либо гены а, либо гены А. Под состоянием процесса будем понимать число индивидуумов с генами а в момент Предположим, что вероятность того, что состояние изменится за интервал времени равна и не зависит от а вероятность двух или более изменений за время равна

Изменения в составе популяции происходят следующим образом. Индивидуум, который должен быть заменен другим, выбирается из популяции случайным образом. То есть если то индивидуум с геном а отбирается для замены с вероятностью а индивидуум с геном А — с вероятностью Мы будем называть данную замену «гибелью». Далее, «рождение» происходит по следующему правилу. Из популяции делается еще один случайный выбор, с тем чтобы определить тип нового индивидуума, который займет место погибшего, В модели вводится мутационное давление, которое создает возможность того, что тип

нового индивидуума может измениться после рождения. Именно: пусть вероятность того, что ген а мутирует в ген А, и вероятность того, что ген А мутирует в ген а.

Вероятность того, что новый индивидуум, добавленный к популяции, имеет ген а, равна

Эта формула получена следующим образом. Вероятность того, что будет выбран ген а и не произойдет мутации, равна

Кроме того, новый ген индивидуума может иметь ген а, если будет выбран ген который затем мутирует в ген а. Вероятность этого события равна Комбинация этих двух возможностей дает формулу (6.1).

Мы утверждаем, что вероятность события при условии, что в момент имело место изменение состояния, равна

В самом деле, число индивидуумов с геном а увеличивается только в случае гибели (замены) индивидуума с геном А. Вероятность этого равна Второй сомножитель есть вероятность того, что новый индивидуум имеет ген а (см.

Аналогично вероятность того, что при условии, что в момент произошло изменение состояния, равна

Описанный вероятностный процесс является, таким образом, процессом рождения и гибели с конечным числом состояний, инфинитезимальные интенсивности рождения и гибели которого равны

соответственно при числе индивидуумов с геном а, равном

Хотя эти параметры кажутся довольно сложными, интересно посмотреть, что произойдет со стационарным распределением при и вероятностях мутации для отдельных индивидуумов стремящихся к нулю так, что где Одновременно мы будем считать состояние процесса изменяющимся на отрезке [0, 1], принимая в качестве него т. е. долю индивидуумов с геном а в популяции. Чтобы найти плотность состояния оценим пп при где наибольшее целое число, не превышающее Имея это в виду, запишем

Тогда

Используя разложение

можно записать

где имеет конечный предел при Следовательно, используя соотношение

имеем

Аналогично можно получить

где имеет конечный предел при Используя выписанные соотношения, имеем

где при Заметим, что при Поскольку то при имеем

Далее, из (6.3) имеем

Следовательно,

Поскольку при то в правой части стоит аппроксимация суммы Римана для интеграла

Таким образом,

так что плотность в (0,1) равна

поскольку Получили бета-распределение с параметрами

Пример 4. Логистический процесс. Предположим, что мы рассматриваем популяцию, размер которой изменяется в пределах от до целые, при всех Пусть

интенсивности рождения и гибели для каждого индивидуума в момент равны

а отдельные индивидуумы в популяции развиваются независимо друг от друга. Результирующие интенсивности рождения и гибели для всей популяции равны

Чтобы показать это, заметим, что если размер популяции равен то каждый из индивидуумов имеет инфинитезимальную интенсивность рождения Я, так что Такое же обоснование можно предложить и для интерпретации

В этих предположениях естественно ожидать, что процесс изменяется между двумя уровнями поскольку если, скажем, близок к то интенсивность гибели высока, а интенсивность рождения низка и, следовательно, стремится к В результате процесс должен флуктуировать стационарным образом между двумя уровнями

Стационарное распределение в этом случае равно

где с — константа, определяемая из условия Чтобы показать это, заметим, что