В. Дискретная марковская цепь, описывающая очередь

Заявки поступают к месту обслуживания и становятся в очередь. Допустим, что обслуживание одной заявки занимает фиксированное время (период), продолжительность которого принимается за единицу. Если к моменту окончания обслуживания заявки очередь отсутствует, в следующий период обслуживания не происходит. (Можно представить себе, например, стоянку такси, на которую через одинаковые промежутки времени прибывают машины одна за другой. Если в очереди нет пассажиров, машина сразу же уезжает.) Во время обслуживания некоторой заявки могут поступить новые заявки. Предположим, что число заявок поступающих в течение периода, является случайной величиной, функция распределения которой не зависит от номера периода и имеет вид

Мы предположим также, что с. в. независимы. Состояние системы в момент времени определяется как число заявок, ждущих обслуживания к началу периода. Если система находится в состоянии то по прошествии одного периода она перейдет в состояние

где I — число поступивших за этот период заявок. В терминах значений случайного процесса мы можем выразить (2.5) так:

где В силу (2.4) и (2.5) матрица переходных вероятностей имеет вид

Интуитивно ясно, что если среднее число новых заявок прибывающих за период, превышает единицу, то со временем очередь будет беспредельно увеличиваться.

С другой стороны, если то, как мы увидим, распределение длины очереди приближается к некоторому равновесному (стационарному) распределению. Если то возникает существенно неустойчивая ситуация. Все эти утверждения будут строго доказаны после того, как будет изложена теория рекуррентных событий (см. § 5 гл. 3).