Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

§ 1. СВОДКА ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ И СВОЙСТВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В этом параграфе приводятся основные термины и элементарные понятия теории вероятностей. В последующих главах мы будем пользоваться ими без каких-либо дальнейших ссылок на литературу. Читателю настоятельно рекомендуется обратиться к упражнениям, помещенным в конце главы; эти упражнения помогут ему вспомнить и закрепить предварительный материал. Детальное изложение этих вопросов можно найти в книгах Феллера, Гнеденко и Парзена (см. литературу в конце этой главы).

Предполагается, что читатель знаком со следующими понятиями:

(1) действительная случайная величина

(2) функция распределения случайной величины X (определяемая как и ее элементарные свойства;

(3) события, связанные со значениями случайной величины и их вероятности;

(4) математическое ожидание случайной величины X и моменты высших порядков

(5) формула полной вероятности и формула Байеса.

Вместо слов «действительная случайная величина» мы будем часто пользоваться сокращением «д. с. в.».

Д. с. в. X называется дискретной, если существует конечное или счетное множество различных чисел такое, что любого значения X, д. с. в. X называется непрерывно распределенной. Если существует неотрицательная функция определенная на всей оси — и такая, что функцию распределения

д. с. в. X можно представить в виде

то будем говорить, что является плотностью распределения вероятностей (или короче — плотностью вероятности) случайной величины Если д. с. в. X имеет плотность вероятности, то она с необходимостью непрерывно распределена; однако известны примеры непрерывно распределенных случайных величин, не обладающих плотностью вероятности.

Если X — дискретная д. с. в., то ее момент (или момент порядка определяется так:

(где - имеют тот же смысл, что и выше) при условии, что ряд сходится абсолютно.

Если X — непрерывно распределенная случайная величина с плотностью вероятности то ее момент определяется соотношением

при условии, что интеграл сходится абсолютно.

Первый момент (или среднее значение) д. с. в. X будем обозначать через или центральный момент д. с. в. X определяется как момент если существует. Первый центральный момент, очевидно, всегда равен нулю; второй центральный момент называется дисперсией Медианой д. с. в. X по определению является любое число обладающее тем свойством, что