§ 3. ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОРЯДКОВЫЕ СТАТИСТИКИ

Важный класс задач, связанных с порядковыми статистиками, касается эмпирических функций распределения случайных величин. Если X — случайная величина с функцией распределения

— множество порядковых статистик, соответствующих выборке размера из то эмпирическая функция распределения

величины X является случайной величиной, определяемой следующим образом:

Пусть X — случайная величина с непрерывной строго возрастающей функцией распределения и эмпирической функцией распределения Мы хотим найти вероятность

Как мы уже видели в начале этой главы, без потери общности можно считать, что X равномерно распределена на отрезке [0, 1].

Рис. 2.

В самом деле, заменим X на величину соответствующие наблюдения которой равны Тогда (3.2) сведется к

где теперь эмпирическая функция распределения, связанная с равномерным распределением.

На рис. 2 показана типичная реализация для равномерного распределения.

Докажем, что

Если равенство (3.4) очевидно, поскольку не выполнено условие Результат для случая является следствием равенства (2.10). Необходимо лишь сделать подстановку . В самом деле, ясно (рис. 2), что событие

произойдет тогда и только тогда, когда

где — порядковые статистики объема соответствующие равномерному распределению на отрезке [0, 1]. Случайные величины (см. (2.10)) в данном случае являются фиксированными числами которые, несомненно, перестановочны. Тогда (3.5) можно записать в виде

где

Равенство (3.4) теперь следует из (2.10). Заметим, что правая часть (3.4) не зависит от

Следующая задача, относящаяся к бросанию монеты, также включает в себя эмпирическую функцию распределения. Пусть X — случайная величина с непрерывной строго возрастающей функцией распределения Пусть

— две независимые случайные выборки объема из распределения величины Пусть соответствующие порядковые статистики. Образуем эмпирические функции распределения:

Можно снова предположить, что равномерное распределение на отрезке [0,1]. Как показывает рис. 3, при при

В интервале один из двух графиков может лежать полностью ниже другого или, как на рис. 3, они могут пересекаться. Перейдем к определению вероятности первого из двух упомянутых событий, т. е. найдем

Эта вероятность может быть интерпретирована следующим образом.

Рис. 3.

Будем рассматривать как одну выборку и образуем соответствующие порядковые статистики. Возможный вид их может быть следующим (рис. 3):

Так как обе выборки взяты из одного распределения, все такие перестановки равновероятны. Обозначим порядковые статистики вектором

где половина величин является статистиками X, а другая половина — статистиками Для каждого можно найти отношение

Очевидно, Поскольку график будет лежать ниже графика при всех тогда и только тогда, когда при всех выражение (3.7) эквивалентно следующему:

Другое графическое представление события, записанного в фигурных скобках в формуле (3.9), можно дать следующим образом.

Рис. 4.

Рассмотрим ступенчатую функцию (рис. 4), которая совершает горизонтальный единичный скачок всякий раз, когда в перестановке порядковых статистик встречается X, и вертикальный единичный скачок всякий раз, когда встречается График этой ступенчатой функции лежит строго выше прямой с наклоном 45° (кроме граничных точек, где он будет совпадать с ней) тогда и только тогда, когда при всех Следовательно, выражение (3.9) (а также есть вероятность того, что график ступенчатой функции на рис. 4 лежит полностью по одну сторону от прямой с наклоном 45° (кроме граничных точек).

Эта задача может быть интерпретирована как последовательное бросание монеты. Предположим, что мы проводим серию из бросаний симметричной монеты. Предполагая, что в конце серии общее число выпадений герба равно общему числу выпадений решетки (и оба они равны можно спросить, чему равна вероятность того, что число выпадений герба всегда больше числа выпадений решетки, наблюдаемых по ходу игры, или наоборот (число выпадений решетки всегда больше числа выпадений герба при каждом бросании)?

Если сопоставить горизонтальным скачкам события, состоящие в выпадении герба, а вертикальным скачкам — в выпадении решетки, то таким образом каждой серии ставится в соответствие ступенчатая функция типа показанной на рис. 4. Следовательно, вероятность того, что число выпадений герба превышает число выпадений решетки (или наоборот) в течение всей серии из бросаний при условии, что они равны в конце, равна вероятности (3.9).

Перейдем теперь к вычислению этой вероятности, для которой было дано несколько интерпретаций. Для этой цели мы ради удобства будем ссылаться на типичные случайные ступенчатые функции вида функции, представленной на рис. 4. Графики этих ступенчатых функций идут из точки в точку за скачков, из которых должны быть вертикальными. Очевидно, общее число таких функций равно Чтобы сосчитать те из них, графики которых не имеют общих точек (кроме граничных) с прямой, имеющей наклон 45°, достаточно в силу симметрии сосчитать те ступенчатые функции, графики которых проходят ниже указанной прямой, и удвоить это число. Однако график любой ступенчатой функции, лежащий ниже прямой с наклоном 45°, проходит на первом шаге через точку (1,0) и затем идет к точке

Очевидно, существует ступенчатых функций, графики которых ведут из точки (1,0) в точку

Мы хотим сосчитать лишь те из них, которые лежат ниже прямой с наклоном 45°. Чтобы найти это число, мы сосчитаем число ступенчатых функций, графики которых ведут из точки в точку и имеют по крайней мере одну общую точку с прямой с наклоном 45°, а затем вычтем это число из Покажем сначала, что любая ступенчатая функция, график которой ведет из (1,0) в имеет хотя бы одну общую точку с прямой с наклоном 45° и заканчивается вертикальным скачком (рис. 5), соответствует ступенчатой функции, график которой ведет из (1,0) в пересекает прямую с наклоном 45° и заканчивается горизонтальным скачком. Чтобы показать это, возьмем ступенчатую функцию, график которой соприкасается с прямой с наклоном 45° и заканчивается вертикальным скачком; пусть точка их последнего соприкосновения перед достижением Отразим часть графика между точками и симметрично относительно указанной прямой (см. пунктирную линию на рис. 5). Очевидно, такой процесс устанавливает взаимно однозначное соответствие между двумя видами графиков ступенчатых функций — касающихся прямой с наклоном 45° и заканчивающихся вертикальным скачком и оканчивающихся горизонтальным

скачком после соприкосновения с прямой с наклоном 45°. Таким образом, нужно лишь подсчитать ступенчатые функции, графики которых ведут из (1,0) в пересекают прямую с наклоном 45° и оканчиваются горизонтальным скачком. Но, очевидно, график любой ступенчатой функции, ведущий из (1,0) в и оканчивающийся горизонтальным скачком, должен проходить через точку а таких графиков существует ровно

Рис. 5.

В силу принципа отражения мы знаем, что число ступенчатых функций, графики которых ведут из (1,0) в пересекают прямую с наклоном 45° или касаются ее и оканчиваются вертикальным скачком, также равно . Тогда число ступенчатых функций, графики которых ведут из (1,0) в и всегда остаются ниже прямой с наклоном 45° (кроме точки , равно

Это также равно числу ступенчатых функций, графики которых ведут из в и остаются ниже прямой с наклоном 45° (кроме граничных точек).

Следовательно, вероятность того, что график ступенчатой функции (рис. 4), выбранной случайным образом, не будет иметь общих точек, кроме граничных, с прямой с наклоном 45°, равна

Это также вероятность, задаваемая формулами (3.7) и (3.9). Результат (3.10) также может быть выведен с помощью непосредственного приложения теоремы о баллотировке.

Наконец, результат (3.10) можно получить из результатов, касающихся бросания монеты и полученных в гл. 4. Соответствующим примером была первая из цепей Маркова, рассматривавшаяся в гл. 4, § 4. В нашей формулировке искомая вероятность является в точности вероятностью того, что первый переход из состояния 1 в состояние 0 произойдет при испытании при условии, что общее число выпадений герба равно общему числу выпадений решетки за испытаний.

Безусловная вероятность того, что первый переход из состояния 1 в состояние 0 произойдет при испытании, вычислена в гл. 4, § 6. Было показано, что она равна Следовательно, условная вероятность такого первого перехода равна в точности как и должно быть.