§ 11. ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВОЗРАСТА

В этом параграфе мы рассмотрим модель ветвящегося про цесса, где каждый объект (или частица, или индивидуум) имеет случайное время жизни с произвольным распределением, а по окончании его порождает своих потомков. Этот процесс следует сравнить с ветвящимися процессами, у которых время жизни одного объекта фиксировано или экспоненциально распределено. Предположим, что отдельный объект имеет время жизни случайной длительности с плотностью т. е. вероятность того, что время жизни объекта лежит в интервале равна Предположим далее, что по окончании времени жизни объект порождает два новых объекта такого же типа, времена жизни которых будут независимыми случайными величинами с той же плотностью По окончании своего времени жизни каждый объект снова породит два новых объекта того же типа, и этот процесс продолжается бесконечно долго. Пусть число объектов в момент обозначим его вероятностное распределение через

Очевидно, при всех поскольку в наличии всегда будет по крайней мере один объект. Действительно, до первого «раздвоения» будет в точности один объект, а после него — по крайней мере 2 объекта. Таким образом,

где

— функция распределения величины

Пусть производящая функция величины т. е.

Получим интегральное уравнение относительно Вероятность того, что в момент имеется ровно объектов, можно выразить следующим образом. Предположим, что первое ветвление происходит на интервале вероятность чего равна и за оставшееся время оба новых независимо развивающихся объекта породят в сумме потомков.

Естественно, что момент первого ветвления может принимать любые значения из отрезка Таким образом, из формулы полной вероятности следует, что

В силу определения имеем

Поскольку все входящие под знак суммирования величины неотрицательны, знаки суммирования и интегрирования можно поменять местами. Тогда

Двойная сумма в правой части является производящей функцией двукратной свертки последовательности Таким образом,

К сожалению, в общем случае данное интегральное уравнение не решается. Решим его для частного случая, когда имеет экспоненциальное распределение с плотностью

Процесс, соответствующий данному частному случаю, является процессом чистого рождения Юла. Действительно, если вначале имеется объектов, то время до первого ветвления является случайной величиной где независимы и имеют плотность (11.2). Распределение величины является экспоненциальным с параметром Следовательно, вероятность того, что ветвление произойдет на интервале длины А, равна Когда это случается, популяция увеличивается до размера

и временной интервал до следующего ветвления будет распределен экспоненциально с параметром Анализ этого примера с точки зрения процессов чистого рождения был дан в гл. 7, § 1. Другой метод, излагаемый ниже, имеет самостоятельный интерес.

Если то уравнение (11.1) примет вид

Произведем замену переменных и получим

Продифференцируем полученное равенство по

где

Разделив обе части на получим дифференциальное уравнение Бернулли

Чтобы решить это дифференциальное уравнение, можно разделить переменные:

Тогда решение имеет вид

или

где не зависит от но, быть может, зависит от Чтобы найти положим в Поскольку

мы имеем

Таким образом, решение уравнения (11.3), а также уравнения (11.1) в случае экспоненциального времени жизни равно

Чтобы найти точный вид разложим (11.5) в ряд по степеням

Очевидно, что

Хотя мы не можем в общем случае решить интегральное уравнение (11.1), можно получить из него уравнение относительно среднего Вспомним, что

Дифференцируя получаем

Положим теперь и учтем, что

тогда

Это интегральное уравнение является примером так называемого уравнения восстановления. Его характерной особенностью является наличие неизвестной функции под знаком интеграла в виде свертки. Существует множество методов, которые описывают асимптотические свойства решения уравнения восстановления.

Очевидным обобщением описанной модели является допущение о том, что объект по истечении его времени жизни порождает ровно новых объектов того же типа, где фиксированное целое число, Легко видеть, что интегральное уравнение (11.1) заменяется тогда следующим:

Дальнейшее обобщение этой модели состоит в допущении того, что любой объект по истечении своего времени жизни может породить случайное число новых объектов того же типа, например можно предположить, что объект порождает I новых объектов с вероятностью Пусть

— соответствующая производящая функция. При этом интегральное уравнение можно получить следующим образом. Предположим, что первое ветвление произошло в интервале и при этом образовалось новых объектов. Это событие имеет вероятность Тогда в течение оставшегося времени каждый из объектов может породить любое число новых объектов, но так, чтобы их суммарное число в момент равнялось . В силу формулы полной вероятности имеем

Тогда производящая функция равна

Но сумма

является производящей функцией -кратной свертки последовательности (читатель должен это проверить). Таким образом, эта сумма равна степени производящей функции

т. е. величине и поэтому

Но сумма под интегралом равна производящей функции в точке и окончательно интегральное уравнение принимает вид

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ЗАМЕЧАНИЯ

Материал этой главы следует книге Т. Харриса [1] по ветвящимся процессам, в которой также содержится обширная библиография по данному предмету и его приложениям.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)