§ 4. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОБОБЩЕННЫХ СТАЦИОНАРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Марковскую цепь с матрицей переходных вероятностей связанной с матрицей по формуле (3.5) через некоторое положительное решение системы (3.3), называют обратной марковской цепью к цепи . В возвратном положительном случае, когда (с — константа), можно интерпретировать следующим образом. Предположим, что начальное распределение совпадает с т. е. марковская цепь в начальный момент находится в состоянии с вероятностью Вычислим условную вероятность того, что начальным состоянием было если известно, что после одного перехода процесс находился в состоянии По формуле Байеса имеем

Так как процесс стационарен, то

и (4.1) принимает вид

Последовательное применение соотношения (4.2) приводит, по существу, к «обращению» времени. Легко видеть, что если с. в. имеет своим распределением то

Название «обратный процесс», данное марковской цепи с матрицей переходных вероятностей таким образом, отражает сущность дела,

Метод введения обратного процесса применим всякий раз, когда имеется положительное (не обязательно сходящееся) решение системы (3.3). Этим приемом мы воспользуемся ниже в теореме 5.2.

Как следует из теоремы 3.1, решение системы (3.3) расходится в случае возвратного нулевого класса и сходится в случае возвратного положительного класса. Интересную интерпретацию можно дать как сходящемуся, так и расходящемуся решениям системы (3.3). Для возвратного положительного класса значения пропорциональны стационарным вероятностям пребывания в соответствующих состояниях. В общем случае значения можно интерпретировать как стационарное среднее число частиц, находящихся в состоянии при соответствующих условиях равновесия. Точный смысл имеющегося в виду равновесия выявляется в следующей теореме:

Теорема 4.1. Предположим, что счетное число частиц независимо подчиняются марковскому процессу, заданному матрицей Пусть д. с. в. представляет число частиц, находящихся в состоянии в момент Если являются независимыми д. с. в., подчиняющимися распределению Пуассона со средними соответственно, где то также являются независимыми д. с. в. с теми же распределениями, что и соответствующие

Замечание. Когда мы говорим о бесконечном числе случайных величин, что они независимы и подчиняются распределению Пуассона, то это означает, что любая их конечная совокупность обладает этим свойством.

Доказательство. Пусть есть число частиц, находящихся в состоянии в момент из общего числа частиц, пребывавших в состоянии в момент Определим векторы и следующим образом:

тогда Доказательство теоремы проведем по индукции. В силу индуктивного предположения (что независимы), а также потому, что частицы ведут себя независимо друг от друга, независимы при каждом фиксированном Мы покажем, что компоненты каждого вектора также являются независимыми д. с. в., откуда следует, что независимые д. с. в.

Для любого конечного числа компонент вектора и целых чисел имеем

По предположению индукции первый сомножитель общего члена суммы равен

Ввиду обусловленности и независимого характера поведения частиц второй сомножитель представляет собой полиномиальное распределение, т. е.

Это выражение полагается равным нулю, если Подставляя (4.4) и (4.5) в (4.3), получаем

Но данная сумма равна 1 (достаточно положить а и просуммировать по а), так как она является суммой вероятностей частных значений для пуассоновского распределения с параметром

Полученное в формуле (4.6) разложение показывает, что являются независимыми с. в., подчиняющимися распределению Пуассона со средними соответственно.

Следовательно, независимые с. в. с пуассоновским распределением и средними соответственно.

Поскольку по условию независимы и имеют пуассоновское распределение со средними то тем самым доказательство по индукции закончено.