§ 6. ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ТИПАМИ ЧАСТИЦ

Обобщение теории, развитой в предыдущем параграфе, на случай большего количества типов повторяет дословно все, сделанное для случая двух типов. Доказательства не содержат новых идей или приемов. Мы приведем лишь сами результаты. Прилежный читатель должен провести полностью все доказательства.

Мы рассмотрим ветвящийся процесс для типов частиц. Различные типы могут отвечать реальным различным мутантным формам некоторого организма или могут соответствовать одному организму, где отдельный тип отвечает возрасту или другому подобному свойству. То, что рассматривается лишь конечное число типов, можно интерпретировать, например, как установление конечного набора возрастных классификаций.

В случае излучения фотонов, возникающего в электронном ливне космических лучей, тип может соответствовать уровню энергии фотона.

Типу соответствует производящая функция

где вероятность того, что один объект типа породит объектов типа объектов типа объектов типа Введем вектор

Пусть производящая функция числа индивидуумов в поколении при условии, что первоначально был лишь один индивидуум типа Аналогично (5.3) имеем

Пусть вектор, представляющий размер популяции, состоящей из типов в поколении. Аналог соотношения (5.4) имеет вид

где матрица первых моментов:

a е - вектор, у которого компонента равна 1, а остальные — 0.

Приведем теперь аналог теоремы 5.1 для типов. Предположим, что для всех (Достаточно потребовать, чтобы для некоторого

и всех Пусть вероятность вырождения, если первоначально имеется лишь один объект типа

Вектор обозначим через и введем вектор .

Теорема 6.1. Пусть и пусть максимальное собственное значение матрицы Если то Если то удовлетворяет уравнению