§ 3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КЛАССЫ

В этом параграфе мы дадим более полное описание структуры периодической цепи. Простейший пример периодического класса с периодом дает цепь с состояниями и матрицей переходных вероятностей

Менее тривиальный пример возникает, если каждое из состояний заменить группой состояний, причем группы состояний не пересекаются, а определить таким образом, что

только тогда, когда или или Матрица принимает в этом случае вид

При этом мы можем определить так, чтобы любые два состояния сообщались. Мы покажем сейчас, что всякий периодический класс имеет такую структуру. Пусть период класса состояний которые помечены целыми числами Обозначим через множество всех состояний, достижимых из состояния 1 за какое-либо число шагов, кратное т. е. тогда и только тогда, когда для некоторого целого Далее, для каждого определим как множество тех состояний, которые могут быть достигнуты из состояния 1 за плюс кратное число шагов, т. е. тогда и только тогда, когда для некоторого целого

Покажем сначала, что если то из следует, что для некоторого целого Действительно, так как то для некоторого Следовательно, так как (см. следствие 4.1 гл. 2), то по определению периода к должно делиться на а потому и делится на Теперь мы покажем, что если то из следует, что для некоторого целого 0. В самом деле, пусть для некоторого для некоторого для некоторого тогда если то значит, кратно следовательно, кратно Но » так что делится на Эти два результата позволяют утверждать, что делится на т. е. для некоторого

Мы оставляем читателю проверить, что из доказанного следует, что множества не пересекаются и непусты, что и что гарантирует равенство для каждого где Проанализировав матрицу периодического класса, мы можем теперь доказать ранее высказанное утверждение относительно появления собственных значений, модуль которых равен 1, у матрицы переходных вероятностей марковской цепи.

Теорема матрица переходных вероятностей конечной неприводимой периодической марковской цепи с периодом то корни степени из 1 являются собственными значениями матрицы кратность каждого из них равна единице, и не существует других собственных значений, модуль которых равен 1.

Доказательство Пусть «циклические классы» процесса в том смысле, в каком мы их только что определили, т. е. из следует, что для каждого Не теряя общности, предположим, что Из определения циклических классов следует, что

где марковская -матрица. Кроме того, для каждого существует целое число такое, что (см. упр. 8 гл. 2). Следовательно, А имеет строго положительный левый собственный вектор принадлежащий собственному значению 1 алгебраической кратности 1. Благодаря структуре матрицы мы можем, дописав нужное количество нулей к получить линейно независимые векторы такие, что

Рассмотрим векторы Единственные отличные от нуля компоненты вектора это те, что имеют индексы вероятность отлична от нуля только в том случае, если класс, которому принадлежит состояние переходит за шагов в циклический класс, которому принадлежит состояние Таким образом, ненулевые компоненты вектора имеют индексы Это значит, что векторы линейно независимы. Кроме того,

Следовательно, если мы ограничимся рассмотрением -мерного линейного пространства, включающего только те компоненты вектора что лежат в то получим левый собственный вектор матрицы соответствующий собственному значению 1.

Так как собственное значение 1 матрицы простое (имеет кратность 1), то каждый совпадает с с точностью до

лярного множителя. На самом деле, если нормировать векторы условием то получим, что Соответственно мы можем теперь записать

Пусть со тогда с помощью последних соотношений получаем

Линейная независимость векторов гарантирует, что ни один из векторов в этих соотношениях не равен нулю. Кроме того, последние соотношения означают, что все корни степени из 1 являются собственными значениями матрицы

Предположим далее, что для некоторого ненулевого вектора х. Тогда Разбивая этот вектор на векторы мы видим, что

Поскольку по крайней мере один из не равен нулю, а для каждой матрицы существует целое число такое, что то либо либо Если то существуют константы такие, что

а следовательно,

Итак,

или

Так как векторы линейно независимы, то

или

поскольку Это означает, что с точностью до скалярного множителя совпадает с одним из уже построенных собственных ректоров матрицы

Перейдем к случаю произвольной марковской матрицы.

Теорема 3.2. Если матрица переходных вероятностей конечной марковской цепи, то все ее собственные значения, по модулю равные 1, являются корнями из 1. Корни степени из 1 являются собственными значениями матрицы тогда и только тогда, когда множество состояний марковской цепи, которой соответствует включает возвратный периодический класс периода Кратность каждого корня степени совпадает с числом возвратных классов периода

Доказательство этой теоремы по существу идентично доказательству теоремы 3.1. Поскольку из соотношения следует, что

или, в координатной форме,

то, переходя к пределу при мы видим, что если состояние невозвратно. Таким образом, мы можем рассматривать только возвратные состояния, что немедленно сводит рассматриваемый общий случай к предыдущей теореме.