§ 3. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ МОДЕЛИ ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНИМ ПРИБОРОМ

Обсудим некоторые аспекты трех методов анализа частных видов системы обслуживания Первый метод, известный под названием метода интегрального уравнения, сводит задачу нахождения предельного распределения времени ожидания начала

обслуживания требованием к задаче решения интегрального уравнения типа Винера — Хопфа.

Если входящий поток является пуассоновским, то при втором методе исследования рассматривается длина очереди в моменты окончания актов обслуживания. Можно показать, что этот вложенный процесс является цепью Маркова (см. ниже § 4). Если распределение времени обслуживания является экспоненциальным, а входящий поток определяется общим распределением, то вложенная цепь Маркова получается при рассмотрении длины очереди в моменты новых поступлений. Результирующий процесс является цепью Маркова специального вида.

С помощью третьего метода исследуются свойства случайной величины равной времени до начала обслуживания, которое пришлось бы ожидать требованию, если бы оно поступило в момент независимо от того, поступило оно на самом деле в этот момент или нет. Эта величина называется виртуальным временем ожидания в момент

Рассмотрим сначала метод интегрального уравнения, а затем перейдем к моделям более частного вида, к которым применим метод вложенных цепей Маркова. Некоторые вопросы, относящиеся к третьему методу, обсуждаются в § 8.

А. Метод интегрального уравнения

Введем величины

- время ожидания поступившим требованием начала обслуживания,

- длительность обслуживания требования,

- длительность интервала между поступлением требований,

где Условие означает, что первое поступающее требование застает обслуживающий прибор свободным. Предположим, что оно поступает в момент

Очевидно, время пребывания требования в системе. Следовательно, если то требование застанет обслуживающий прибор свободным, т. е. в этом случае Если то длительность времени ожидания требования равна, очевидно, Следовательно,

Обозначим

Тогда, очевидно, последовательность независимых одинаково распределенных д. с. в. Пусть функция распределения величины плотность величины которая по предположению одинакова для всех Поскольку и независимы, то при

Далее, поскольку первое требование поступает в момент и застает обслуживающий прибор свободным, то

и так как при все то

Но

и отсюда по индукции следует, что при любом

Следовательно, при каждом функция убывает с ростом

Поскольку то отсюда следует, что сходится, скажем, к функции Переходя к пределу при в равенстве (3.1), получим

или, если положить

Теперь нужно исследовать вопрос о том, когда предел является собственным распределением. Очевидно, что неубывающая функция, но может оказаться, что а не Первый случай можно интерпретировать как возможность того, что время ожидания требования стремится к с положительной вероятностью (или длина очереди стремится к с положительной вероятностью).

Получим сначала другое выражение для Поскольку

где использован тот факт, что независимые одинаково распределенные д. с. в. По индукции непосредственно получаем, что

поскольку одинаково распределены. Таким образом, если и то

Очевидно, монотонно убывает с ростом (это было также доказано выше), и поэтому

Если то и тривиальным образом получаем

Используя полученный результат, можно определить, когда является собственным распределением. Предположим, что т. е. имеют конечные математические ожидания. Тогда справедлива следующая

Теорема 3.1. (1) Если то Если то

Интуитивно этот результат очевиден. Он утверждает, что если средняя длительность интервала между моментами поступления меньше средней длительности обслуживания, то очередь растет бесконечно и с вероятностью 1. Доказательство разбивается на три части.

Доказательство.

В силу усиленного закона больших чисел

следовательно, для почти всех реализаций последовательности с вероятностью 1 имеем

при достаточно больших где выбор зависит от реализации. Событие при всех является частью события, дополнительного к событию (3.2). Следовательно, его вероятность равна нулю.

Вновь в силу усиленного закона больших чисел для любых существует целое такое, что при

Выберем таким малым, что Тогда для любого существует такое, что

Далее, поскольку - собственное распределение, для указанных можно выбрать достаточно большое х, такое, что

Смысл события В очевиден из приведенного равенства.

Пусть при всех Событие при всех содержит пересечение двух событий и его вероятность не меньше Следовательно, при достаточно больших х, или

Но, поскольку произвольно, это означает, что

В этом случае утверждение следует из довольно глубокой теоремы, относящейся к возвратности сумм независимых случайных величин, которая лежит за пределами данной книги. Дискретным аналогом теоремы является теорема 3.3 гл. 6.

Б. Возвратность события, заключающегося в том, что время ожидания поступающего требования равно нулю

При анализе случайной последовательности с пространством состояний возникает вопрос о возвратности события А, заключающегося в том, что некоторое требование застанет систему свободной. Формально скажем, что событие А наступило на шаге, если Предложение «событие А происходит» будет в дальнейшем означать, что оно происходит на некотором конечном шаге. Заметим, что, если событие А происходит, процесс начинается с очередного значения равного нулю.

Теорема 3.2. (1) Если то событие А — невозвратное (т. е. вероятность события А меньше 1).

(2) Если то событие А — возвратное (т. е.

(3) Если то событие А — положительное возвратное (т. е. среднее время до наступления А конечно).

Доказательство.

(1) Используя те же обозначения, что и прежде, заметим, что

(Напомним, что разность между суммарным временем обслуживания первых требований и временем поступления требования.) При этом равенство выполняется лишь в том случае, если обслуживающий прибор был все это время занят (т. е. до момента поступления требования не было перерыва в его работе).

Таким образом, если все то событие А не наступает. В силу усиленного закона больших чисел для любых существует число такое, что

Таким образом, если и выбрать достаточно малое то существует число такое, что

Это означает, что с положительной вероятностью А может происходить лишь конечное число раз, т. е. событие лишь для конечного набора индексов имеет положительную вероятность. Но событие является возвратным тогда и только тогда, когда вероятность его осуществления бесконечное число раз равна 1 (см. теорему 7.1 гл. 2). Следовательно, если то А невозвратно.

(2) Если то для произвольных существует число такое, что

Отсюда, если достаточно мало, получаем

и в силу произвольности усиливая неравенство, имеем

Но если то некоторая величина в частности, если первая из последовательности величина, которая 0, то Поэтому если то А — возвратное событие.

Если то соответствующее доказательство является довольно тонким и мы не будем его проводить, а отошлем читателя к цитируемой в конце главы литературе.

(3) Если мы утверждаем, что событие А является возвратным положительным. Доказательство этого мы опускаем.