§ 6. ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ РОСТА ПОПУЛЯЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ И ВРЕМЕНИ

Предположим, что некоторые растения распределены в пространстве в соответствии с двумерным распределением Пуассона, имеющим интенсивность (Мы рассматриваем модель распределения растений в двумерном пространстве, но все рассуждения без изменений могут быть перенесены на трехмерный случай.) Предположим, что каждое родительское растение, чье местоположение

описывается двумерным вектором порождает независимо от других растений случайное число потомков с производящей функцией

где вероятность того, что родительское растение породит потомков. Предположим также, что потомство одного родителя, расположенного в точке распределяется независимым образом вокруг точки в соответствии с двумерной плотностью зависящей лишь от вектора например можно взять двумерную нормальную плотность

Таким образом, вероятность того, что данный потомок родителя, находящегося в точке будет находиться в области равна

Если родительское растение, находящееся в точке имеет в точности потомков, то число потомков этого родителя, находящихся в области имеет биномиальное распределение с параметрами где задается равенством (6.1). Общее число потомков одного родителя является случайной величиной с вероятностной производящей функцией . С помощью обычного метода использования формулы полной вероятности можно показать, что производящая функция числа потомков одного родительского растения, расположенного в точке которые находятся в области равна где задается равенством (6.1). Наша цель — найти производящую функцию числа потомков в области порожденных всеми родителями из области s. Для этой цели введем следующие обозначения.

Пусть число родительских растений в области - число потомков одного родительского растения, находящегося в точке которые расположены в области ; - суммарное число потомков в области которые порождены всеми родителями из области

Тогда в этих обозначениях имеем

Если имеет конечную площадь, то сумма справа с вероятностью 1 содержит конечное число членов, поскольку число родителей в

имеет пуассоновское распределение с параметром площадь Далее, величина описывается двумерным пуассоновским процессом с интенсивностью Производящую функцию величины можно найти с помощью формулы полной вероятности, налагая условие на значения Таким образом, получаем

Поскольку родительские растения развиваются независимо, то

Кроме того, из теории пространственных пуассоновских процессов известно, что при условии выполняется равенство

где вектор распределен равномерно в . В таком случае имеем

где определяется равенством (6.1). Последнее равенство выполняется, так как было доказано, что является производящей функцией числа потомков в порожденных одним родителем, расположенным в точке Здесь, однако, вектор равномерно распределен в и поэтому мы получили равенство (6.4). Из (6.2), (6.3) и (6.4) следует

поскольку имеет пуассоновское распределение с параметром Последнюю формулу можно переписать в более простом виде:

где

В выражении (6.5) часто в качестве берут все двумерное пространство.

Формула (6.5) остается в силе, если растения распределены в пространстве в соответствии с трехмерным пуассоновским распределением, а означают трехмерные векторы и области

соответственно. В любом или трехмерном) случае, если область достаточно мала, вероятность приближенно равна

В качестве можно взять любой вектор из области Тогда равенство (6.5) перепишется в виде

Если — все пространство (дву- или трехмерное), то можно записать

где интеграл (двойной или тройной) берется по всему пространству.

Для примера рассмотрим в качестве нормальное распределение на плоскости:

Пусть вероятностное распределение числа потомков одного родителя равно

где постоянная, Тогда

Подставляя в (6.6) и упрощая, получим при малых приближенное равенство

После перехода к полярным координатам и 0 выражение для примет вид

где

Таким образом есть производящая функция отрицательного биномиального распределения.