§ 8. ВЕРОЯТНОСТИ ВЫРОЖДЕНИЯ ДЛЯ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Решим сначала более легкую задачу нахождения среднего значения Для этого продифференцируем (7.10) по и изменим порядок дифференцирования в левой части. Получим

Положим Тогда, поскольку (условие (7.2)), имеем

где

Решение уравнения (8.2) имеет вид

поскольку если предположить, что

Займемся теперь задачей о вырождении. Для этого всюду далее в этом параграфе будем предполагать, что так как в противном случае вырождение невозможно. Достаточно рассмотреть случай, когда в момент 0 имеется один индивидуум. Действительно, из (7.6) известно, что

следовательно,

Но - вероятность того, что популяция, имеющая в начальный момент размер выродится к моменту Интуитивно очевидно, что неубывающая функция Докажем это формально, используя (7.8). В самом деле,

где использован тот факт, что является степенным рядом по с неотрицательными коэффициентами и, следовательно, возрастающей функцией

Вероятность вырождения можно определить как вероятность того, что популяция, порожденная одним индивидуумом, исчезнет, т. е.

Используя теорию ветвящихся процессов с дискретным временем (§ 3), легко найти вероятность вырождения в случае непрерывного времени. Пусть любое фиксированное положительное число; рассмотрим процесс с дискретным временем

где — размер популяции в момент соответствующий исходному ветвящемуся процессу с непрерывным временем, Поскольку по предположению —марковский процесс, процесс с дискретным временем, то образует, очевидно, цепь Маркова. Более того, он является ветвящимся процессом с дискретным временем. В самом деле, в силу гипотезы об однородности процесса и в силу (7.6) получим

Отсюда следует, что является ветвящимся процессом. Производящая функция числа потомков одного индивидуума для этого процесса равна Следовательно, вероятность вырождения процесса является наименьшим неотрицательным корнем уравнения

как это показано в § 3. Но

Следовательно, вероятность вырождения ветвящегося процесса с непрерывным временем является наименьшим неотрицательным корнем уравнения (8.4), где - любое положительное число.

Поскольку корень уравнения (8.4) при любом следует ожидать, что вероятность можно найти из уравнения, не

содержащего этого параметра. Это в действительности так и утверждается следующей теоремой.

Теорема 8.1. Вероятность вырождения является наименьшим неотрицательным корнем уравнения

Следовательно, тогда и только тогда, когда (Вспомним, что и

Рис. 3

Рис. 4.

Доказательство. Поскольку удовлетворяет уравнению (8.4) при любом из (7.12) следует, что

Устремляя получаем

Поскольку функция выпукла на отрезке [0, 1]. Так как то

может иметь самое большее один нуль в интервале Случаи представлены на рис. 3 и 4 соответственно. Заметим, что тогда и только тогда, когда Это означает, что для ветвящегося процесса с дискретным временем и фиксировано), вырождение в этом случае происходит с вероятностью следовательно, это же справедливо и для процесса Вероятность вырождения в этом случае с необходимостью является наименьшим нулем функции на [0, 1]. Аналогичным образом показывается, что если то . В любом из этих случаев наименьший неотрицательный корень уравнения (8.5).