§ 2. ТЕОРЕМЫ ОБ ОТНОШЕНИЯХ

Для доказательства двух теорем этого параграфа нам понадобится следующая

Лемма 2.1. Пусть

где (К — положительная константа) и Тогда если предел конечен,

Доказательство. Заметим, что Следовательно,

Поскольку стремятся к конечному пределу существует такое что при всех Выберем теперь такое что

Тогда при имеем

Так как произвольно, то, устремляя мы получаем доказываемый результат.

Приведем теперь три соотношения, подобных соотношению (1.1):

при Последнее соотношение совпадает с соотношением (5.9) гл. 2. Вывод их аналогичен выводу соотношения (1.1)

Теорема 2.1. Пусть произвольные состояния, причем состояние возвратное; тогда

где

Доказательство. Из (2.3) имеем

поскольку при (по определению),

Поскольку на самом деле обе суммы конечны, порядок суммирования можно поменять:

Пололим

и

тогда

Применим теперь лемму 2.1, пололшв

Условия леммы выполнены, так как

последнее в силу того, что состояние возвратное. Поскольку

то в силу леммы имеем

и теорема доказана.

Перепишем теперь соотношение (2.1) для

Переходя к соответствующим производящим функциям, получаем

Ранее мы уже показали, что если состояния сообщающиеся. Поэтому по лемме Абеля

и окончательно имеем

Теорема 2.2. Если принадлежат одному и тому же возвратному классу состояний, то

Замечание. Для введем случайные величины:

Тогда и

Таким образом, в условиях теоремы 2.2 вероятность есть среднее число попаданий в состояние между последовательными возвращениями в состояние

Доказательство. В силу соотношения (2.2) имеем

так как при Меняя порядок суммирования, получаем

где

и

Тогда

Теперь мы можем применить лемму 2.1, положив так как (состояние возвратное). Но

а, следовательно, в силу леммы 2.1 имеет место равенство

Теорема доказана.

Если состояния сообщающиеся, то мы можем записать

так как для достаточно больших Далее, если оба состояния возвратны и принадлежат одному и тому же классу, то, согласно последним двум теоремам, первое отношение в правой части стремится к а второе отношение следовательно,

Из (1.1) и (2.5) получаем соответственно

Отсюда, воспользовавшись леммой Абеля, получаем тождества

Если принадлежат одному и тому же классу возвратных состояний, то откуда