§ 7. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ

Мы приложим теперь критерии возвратности из § 4 к исследованию процесса случайного блуждания с матрицей переходных вероятностей

Пусть

Для случая, когда было показано (см. пример в § 1), что процесс случайного блуждания обладает стационарным распределением тогда и только тогда, когда Рассмотрим систему уравнений

или

Легко Еидеть, что решения этой системы образуют двумерное линейное пространство. Мы можем задать произвольно, и тогда все остальные определяются из системы. Очевидно, является решением. Покажем, что

также является решением. Для первого уравнения имеем

Проверяя выполнение уравнения, мы должны показать, что

Поскольку достаточно убедиться в том, что

Но левая часть этого равенства есть не что иное, как

по определению величин Этим проверка и завершается. Поскольку два решения линейно независимы, общее решение системы , имеет вид и ограниченное непостоянное решение существует у этой системы тогда и только тогда, когда ограничены т. е. когда Итак, мы установили, что

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ЗАМЕЧАНИЯ

Содержание § 1—4 является стандартным аппаратом марковских цепей и имеется в большинстве руководств по этому предмету.

Примеры из § 5 являются классическими для теории очередей. Последовательное изложение теории читатель найдет, например, в книге Такача [1].

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)