§ 7. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ
Мы приложим теперь критерии возвратности из § 4 к исследованию процесса случайного блуждания с матрицей переходных вероятностей
Пусть
Для случая, когда 
было показано (см. пример в § 1), что процесс случайного блуждания обладает стационарным распределением тогда и только тогда, когда 
Рассмотрим систему уравнений
или
Легко Еидеть, что решения этой системы образуют двумерное линейное пространство. Мы можем задать 
произвольно, и тогда все остальные 
определяются из системы. Очевидно, 
является решением. Покажем, что 
также является решением. Для первого уравнения имеем
Проверяя выполнение 
уравнения, мы должны показать, что
Поскольку 
достаточно убедиться в том, что
Но левая часть этого равенства есть не что иное, как
по определению величин 
Этим проверка и завершается. Поскольку два решения 
линейно независимы, общее решение системы 
, имеет вид 
и ограниченное непостоянное решение существует у этой системы тогда и только тогда, когда ограничены 
т. е. когда 
Итак, мы установили, что
(см. скан)
ЗАМЕЧАНИЯ
Содержание § 1—4 является стандартным аппаратом марковских цепей и имеется в большинстве руководств по этому предмету.
Примеры из § 5 являются классическими для теории очередей. Последовательное изложение теории читатель найдет, например, в книге Такача [1].
ЛИТЕРАТУРА
(см. скан)
