§ 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Вернемся к задаче решения обыкновенного дифференциального уравнения (7.13), анализу и интерпретации его свойств при Поскольку среднее число частиц в момент мы будем различать тип поведения в зависимости от того, какое из условий или выполняется. Мы обсудим лишь случай при дополнительном предположении Сначала докажем, что функция

ограничена и, следовательно, интегрируема при . В самом деле, разлагая в окрестности точки получаем формулу

где

Вспоминая, что получаем

Следовательно,

и как следствие (9.1) получаем, что ограничена в окрестности точки Функция заведомо ограничена при всех не

принадлежащих окрестности точки это следует из определения, поскольку в исследуемом случае только при Таким образом, ограничена при при условии, что . В силу этого можно ввести функцию

поскольку интеграл существует и конечен. Заметим, что

снова в силу предположения Это означает, что строго возрастающая непрерывная функция. Следовательно, отображение

имеет обратное, которое является непрерывной строго возрастающей функцией

обладающей тем свойством, что при изменении на интервале функция изменяется на интервале Теперь у нас есть все необходимое, чтобы найти искомое решение (7.13) при начальном условии (7.11). Разделяя в (7.13) переменные и интегрируя, получаем точную формулу относительно

Совершая очевидные преобразования и используя определение находим

Отсюда

Поскольку существует обратная функция, то

В предположениях можно также получить некоторые асимптотические результаты относительно вероятности вырождения к моменту Так как ограничена при существует, можно записать (см. (9.3))

Здесь С — отрицательная постоянная. В самом деле,

Перепишем равенство (9.7) в виде

откуда

Но

а

Отсюда

Следовательно,

С помощью этого предельного соотношения можно записать (9.8) в виде

Заменяя на (см. (9.5)), получаем

при этом соотношение эквивалентно Теперь с помощью равенств (9.6) и (9.9) можно найти вероятность того, что вырождение не произойдет к моменту

или

Другой асимптотический результат (при можно получить следующим образом. Условная производящая функция величины при условии, что определена равенством

Но

Таким образом,

где использована формула (9.6) для

Подставляя выражение для (формула (9.9)), получаем

Пусть теперь Тогда отношение, стоящее в правой части, стремится к 1, если Следовательно,

В силу (9.3), однако,

Следовательно, при предельная производящая функция равна

Подведем итоги предыдущему обсуждению в виде следующей теоремы.

Теорема 9.1. Рассмотрим ветвящийся процесс с непрерывным временем, определяемый инфинитезимальной производящей функцией

где интерпретация последовательности дана в (7.1) и выполняется условие (7.2). Предположим, что Предположим, далее, что так что вероятность вырождения равна единице (см. теорему 8.1). Тогда

где функция определена соотношением (9.3). Вероятность того, что до момента не произойдет вырождения, стремится к 0 как экспонента в соответствии с соотношением

Кроме того, случайная величина (при условии, что ) имеет предельное распределение с производящей функцией

Мы приведем без доказательства следующую предельную теорему для случаев Ее доказательство более сложно, хотя и аналогично предыдущему по существу.

Теорема 9.2. (1) Предположим, что Тогда

и

(2) Если то случайная величина

имеет предельное распределение при