§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ПУАССОНОВСКИХ ПРОЦЕССОВ В АСТРОНОМИИ

Рассмотрим звезды, распределенные в пространстве в соответствии с трехмерным пуассоновским процессом описанным в § 1. Пусть х и у — трехмерные векторы. Предположим, что интенсивность света, создаваемая в точке х звездой, находящейся

в точке у, равна . Здесь а — действительный случайный параметр, зависящий от яркости звезды, находящейся в точке у. Предположим, что параметры а, соответствующие различным звездам, являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с общей плотностью распределения Предположим также, что общая интенсивность света, создаваемая в точке х световыми сигналами от различных звезд, является суммой составляющих интенсивностей. Пусть общая интенсивность света, создаваемая в точке х всеми звездами, локализованными в области

Заметим, что данная сумма содержит случайное (но конечное с вероятностью 1) число членов. Мы желаем найти распределение величины Задача будет решена, если будет найдено преобразование Лапласа этого распределения, т. е.

где плотность распределения величины

Конечно, в принципе, зная преобразование Лапласа, можно найти стандартным образом моменты величины и вообще по формуле обращения можно определить функцию через Вычисления по этой формуле в рассматриваемом случае довольно громоздкие, и поэтому мы не будем здесь их проводить.

По формуле полной вероятности имеем

Но из теоремы 1.2 известно, что при условии эти точек распределены равномерно как независимых случайных величин в области . Следовательно,

Чтобы найти заметим, что при условии где — местоположение единственной звезды в соответствующий случайный параметр, отражающий ее яркость. Далее, поскольку положение этой звезды распределено в равномерно, имеем

где интеграл по переменной у понимается как тройной интеграл по области . С помощью выведенных выше соотношений очевидным образом получаем

так как Мы определили через которые можно считать известными или получаемыми на основе других данных.