§ 2. ЛОКАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Заметим, что если марковская цепь возвратна, то она может быть только возвратной нулевой. Это так, потому что в силу пространственной однородности

Если же то что невозможно. Следовательно, при всех

Итак, марковская цепь является либо возвратной нулевой, либо невозвратной; следовательно, при всех

Представляет интерес оценка скорости сходимости к нулю. Результат подобного рода относится к так называемым «локальным предельным теоремам». Приступая к этой задаче, введем характеристическую функцию

где ряд сходится абсолютно и равномерно. Мы утверждаем, что

Действительно, независимые одинаково распределенные случайные величины, так что

(см. стр. 15). Отметим, далее, что

здесь Таким образом, функции любое целое) образуют ортонормированную систему. Поэтому, умножив обе части (2.2) на и проинтегрировав по 0 на отрезке получим

так как в правой части остается лишь член, соответствующий

Прежде чем сформулировать и доказать результат, касающийся скорости сходимости к нулю при введем некоторые понятия, которые нам понадобятся для этого, и обсудим их свойства. Будем говорить, что X является периодической случайной величиной, если все значения, которые X может принимать с положительной вероятностью, содержатся в множестве

где — целые и

Отметим, что из утверждения «марковская цепь является периодической» следует, что периодические случайные величины, но не обратно. (Доказать это.) Напомним еще, что если марковская цепь непериодическая, то наименьшая аддитивная группа, порождаемая целыми числами для которых есть группа всех целых чисел.

Случайная величина

дает пример периодической случайной величины. В самом деле, ее возможные значения можно представить в виде

(Здесь

Лемма 2.1. Случайные величины являются периодическими тогда и только тогда, когда их характеристическая функция обладает следующим свойством:

для некоторого

Доказательство. Предположим, что при

Тогда существует такое действительное число что , а следовательно,

Отсюда

Так как при всех х, то для всех состояний достижимых из нулевого, т. е. для тех для которых с необходимостью

Решения последнего уравнения задаются формулой

Это означает, что всякое достижимое из нуля, можно представить в виде где, очевидно, Ясно, что может принимать только эти значения т. е. периодическая случайная величина.

Докажем теперь необходимость. Если все возможные значения содержатся в множестве

— целые, , то

и

Положим Так как с — целое и то

Таким образом, (2.5) выполняется для

Далее мы будем предполагать, если не оговорено противное, что является непериодической случайной величиной.

Лемма 2.2. Существует константа такая, что

Доказательство. Заметим, что

Нам понадобится тождество

имеющее место при любом действительном а. С помощью этого тождества приходим к неравенству

справедливому для любого положительного

Мы воспользуемся хорошо известным неравенством

Доказать это неравенство можно, например, так. Функция является убывающей при Действительно,

Но и интегрирование обеих частей этого неравенства от 0 до х дает Так как при то значит, убывает при Следовательно, при

Поскольку обе части последнего неравенства являются нечетными функциями, ясно, что (2.8) выполняется.

Учитывая (2.8), из неравенства (2.7) получаем

Это неравенство справедливо для значений 0, таких, что Но если то неравенство будет выполнено, если

При достаточно большом должно существовать по крайней мере одно для которого Выбирая именно таким, имеем

и

при всех

До сих пор мы не пользовались непериодичностью случайной величины Это допущение нам потребуется для оценки при Мы знаем, что непериодичность эквивалентна тому, что равенство выполняется на отрезке только при (лемма 2.1). Но при всех 0, как характеристическая функция. Следовательно,

при . Так как разность является непрерывной функцией аргумента 0 на отрезке то

существует и в силу (2.12) положителен. По самому смыслу величины неравенство

выполняется при всех 0, таких, что Положим теперь

Тогда (2.6) выполняется при всех

Мы подготовили все, что требуется для того, чтобы сформулировать и доказать теорему об оценке скорости сходимости вероятностей к нулю при

Теорема 2.1. Если случайные величины непериодические, то при некоторой константе (не зависящей от

для всех целых

Доказательство. Из (2.4) следует, что

Покажем, что является характеристической функцией некоторой целочисленной случайной величины. В самом деле, так как

и

то при

так что является характеристической функцией целочисленной случайной величины где независимые и одинаково распределенные случайные величины. Непериодичность эквивалентна непериодичности разности Это является непосредственным следствием леммы 2.1. Пусть Применим теперь результат леммы 2.2 к действительной характеристической функции Это даст неравенство справедливое при всех 0 из отрезка и некотором Перепишем это соотношение в виде

где последнее неравенство следует из соотношения которое в свою очередь следует из тривиального неравенства как результат интегрирования последнего в пределах от 0 до у.

Из (2.16) интегрированием получаем

Сравнение соотношений (2.15) и (2.17) дает

где

Поскольку мы также получаем

Положим теперь и (2.19) совместно дают (2.14), что и требовалось,

Нужно подчеркнуть, что оценка (2.14) справедлива как для возвратной марковской цепи так и для случая, когда эта цепь невозвратна. В этой связи полезно еще раз обратиться к классической вероятностной модели бросаний монеты. В этой модели

а последовательность представляет собой марковскую цепь с переходными вероятностями специального вида:

Как мы видели (формулы (6.1) -(6.2) в гл. 2),

а асимптотическая формула для имеет вид

Из (2.20) видно, что если экспоненциально (со скоростью геометрической прогрессии) стремится к нулю. Формула (2.14) дает точную оценку, если

Приведенный нами пример является типичным для общей ситуации. Имеются значительные уточнения оценки (2.14) при дополнительных ограничениях . В этом случае, согласно теореме 1.1, марковская цепь является возвратной, а точнее, возвратной нулевой. Следовательно, . С помощью центральной предельной теоремы доказывается, что

где В — конечная положительная константа, не зависящая от Доказательство этого результата выходит за рамки нашей книги. Мы отсылаем читателя к монографиям [1, 2], где подробно излагаются результаты этого характера. Если при но при то часто (2.21) заменяется другой точной асимптотической формулой

Последний результат справедлив в случае, когда центральная предельная теорема неприменима, но имеет место притяжение к соответствующему устойчивому закону. Теория устойчивых законов

представляет собой довольно сложную область теории вероятностей, играющую важную роль в приложениях к физике и астрономии. Элементарный характер нашей книги не позволяет нам даже поверхностно затронуть эти вопросы. Мы ограничимся лишь констатацией существования этой теории и рекомендуем читателю обратиться к ней при дальнейшем изучении теории вероятностей.