§ 8. ДИСКРЕТНАЯ ВОЗРАСТНАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрим теперь строгий подход к задаче, изучавшейся в предыдущем параграфе, в случае дискретного времени. Пусть и пусть

- число индивидуумов возраста х в момент

— доля индивидуумов возраста доживающих до возраста

- число индивидуумов, рождающихся от каждого родителя возраста х в следующий момент времени.

Предполагается, что не зависят от Предположим, что возраст любого индивидуума ограничен числом т. е. положим тогда переходные соотношения для возрастной структуры между моментами имеют вид

Запишем эти соотношения в матричном виде

где и матрица записывается в виде

М является матрицей с неотрицательными элементами. Свойства таких матриц даны в § 2 приложения. Поскольку не зависят от времени, точно такие же переходные соотношения справедливы для любых двух последовательных моментов времени. Таким образом, применяя последовательно формулу (8.1), получим

где мы обозначили

При достаточно больших все элементы матрицы строго положительны. Кроме того, существует собственное значение которое по абсолютной величине строго превосходит другие собственные значения (теорема 2.2 приложения). Для любого вектора вектор асимптотически равен , где пропорционален правому собственному вектору матрицы отвечающему собственному значению Асимптотически при соотношение (8.3) принимает вид

и величина Ко соответствует критическому значению введенному при эвристическом рассмотрении варианта с непрерывным временем. Популяция растет экспоненциально, если и вымирает экспоненциально быстро, если

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ЗАМЕЧАНИЯ

Источником материала для данной главы послужили книги Бартлетта [1] и Харриса [2].

Дальнейшее обсуждение составных случайных процессов с акцентом на их приложениях содержится в книге Бартлетта [3].

Обширная библиография до 1960 г. собрана в книге Баруча-Рида [4].

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)