§ 6. ПРИМЕРЫ ВОЗВРАТНЫХ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ

Пример 1. Рассмотрим одномерное случайное блуждание по одномерной целочисленной решетке. За каждый переход частица с вероятностью перемещается на единицу вправо и с вероятностью на единицу влево следовательно, имеем

Воспользуемся формулой Стирлинга

и запишем (6.1) в виде

Легко проверить, что причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда Следовательно, с» тогда и только тогда, когда Таким образом, одномерное случайное блуждание возвратно тогда и только тогда, когда (Вспомним, что возвратность является свойством класса!) Интуитивно ясно, что если то положительна вероятность того, что частица, отправляясь из начала координат, будет смещаться к если если ни разу не возвращаясь в исходное состояние.

Пример 2. Обратимся теперь к двумерному случайному блужданию по двумерной целочисленной решетке. Пусть вероятности смещения на единицу влево, вправо, вверх, вниз — все

равны Как и ранее, будем исследовать возвратность состояния, представляемого началом координат. Рассмотрим все траектории, состоящие из перемещений вправо, перемещений влево, перемещений вниз и перемещений вверх, Легко убедиться, воспользовавшись полиномиальным распределением, что

Умножая числитель и знаменатель в правой части (6.3) на , получаем

но

Следовательно,

Формула Стирлинга (6.2) дает

Таким образом, и состояние, представляемое началом координат, является возвратным.

Пример 3. Рассмотрим теперь симметричное случайное блуждание по трем измерениям. Аналогично предыдущему легко убедиться, что

Умножая числитель и знаменатель на и выделяя сомножитель получаем

где

Здесь мы воспользовались тем фактом, что

Для больших значение достигается при Действительно, пусть те значения на которых достигается максимум выражения

при Сразу же можно выписать следующие четыре неравенства:

Эти неравенства сводятся к следующим двум:

Следовательно, при больших Подставляя в (6.7), преобразуем (6.6) к виду

Воспользовавшись формулой Стирлинга, для правой части (6.9) получаем следующее асимптотическое выражение:

Суммируя такие члены, получаем

Следовательно, и в силу теоремы 5.1 состояние, представляемое началом координат, является невозвратным. Поскольку возвратность — свойство класса, а все состояния сообщаются, частица, совершающая одно- или двумерное симметричное случайное блуждание, с достоверностью вернется во всякое состояние, в котором она когда-либо пребывала. В трехмерном симметричном случайном блуждании частица, покинув состояние, с положительной вероятностью не вернется в него никогда.

Пример 4. Рассмотрим марковскую цепь, описывающую серии успехов при биномиальных испытаниях. Матрица переходных вероятностей этой цепи имеет вид

Состояния цепи образуют единственный класс эквивалентности (всякое состояние цепи можно достичь из любого другого состояния). Поэтому в силу следствия 5.1 нам достаточно исследовать возвратность одного состояния, например нулевого. Имеем

Уравнения (6.10) можно переписать в виде

Положим

Теперь если мы просуммируем вероятности то получим

или

Для завершения наших рассуждений полезной окажется следующая

Лемма 6.1. Если при тогда только тогда, когда

Доказательство. Предположим, что Так как степенное разложение функции представляет собой знакопеременный ряд с уменьшающимися по абсолютной величине членами, то справедливо неравенство

Так как (6.12) выполняется при всех то

Но по предположению следовательно,

Для доказательства необходимости воспользуемся следующим легко выводимым неравенством:

справедливым при всех Предположим теперь, что тогда при некотором Отсюда следует, что

Это противоречит предположению о том, что

Возвращаясь к (6.11) и применяя лемму 6.1, заключаем, что тогда и только тогда, когда или, что то же

самое, состояние 0 возвратно тогда и только тогда, когда ряд расходится.

Заметим попутно, что для любого набора положительных чисел такого, что можно построить марковскую цепь только что рассмотренного вида, причем величины будут такими, что Действительно, положим

откуда получаем

Пусть

тогда

Продолжая аналогичным образом, мы получим явные выражения для величин причем