§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ ПРОЦЕССЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ (М/М/1)

Наиболее простыми и наиболее полно изученными являются процессы обслуживания с пуассоновским входящим потоком и экспоненциальным распределением времени обслуживания. Эти процессы уже были описаны и было показано, что процесс изменения длины очереди является процессом рождения и гибели (см. пример 2, § 6 гл. 7).

Вновь рассмотрим случай одного обслуживающего прибора. Функция распределения интервалов между моментами поступления равна

а функция распределения длительности обслуживания

В силу «отсутствия последействия» (теорема 2.2 гл. 7) у экспоненциального распределения очевидно, что процесс (длина очереди в момент однородный по времени марковский процесс рождения и гибели. Пусть его переходная вероятностная функция. Тогда вероятность того, что за время поступит одно новое требование и не закончится обслуживание ни одного требования. При малых

Аналогично находим

и

Инфинитезимальная матрица равна

В § 6 гл. 7 показано, что

Отсюда получаем ответ на многие вопросы, включая стационарность. Если процесс развивался достаточно долгое время и вероятность того, что поступившее требование начнет немедленно обслуживаться (обслуживающий прибор свободен, т. е. длина очереди равна нулю), равна

В случае можно также найти распределение времени эжидания в стационарном режиме. Если поступающее требование застает очередь длины то его время пребывания в системе складывается из длительностей обслуживания его самого и требований, стоящих перед ним. Все эти величины распределены экспоненциально с параметром поскольку длительности обслуживания не зависят от размера очереди, имеет гамма-распределение порядка масштабным параметром

В силу формулы полной вероятности имеем

поскольку вероятность того, что в стационарном режиме поступающее требование застанет очередь длины Учитывая (2.1), находим

Вновь получили экспоненциальное распределение.

Если мы хотим исследовать неустановившийся режим, следует прежде найти для всех Это существенно более сложная задача, но она решена. Подробности этого решения выходят за рамки данной книги, и мы отсылаем интересующегося читателя к любой из специальных книг по теории массового обслуживания, перечисленных в конце главы.

Если имеются два обслуживающих прибора, то для тех же законов поступления требований и обслуживания, когда в очереди имеется не меньше двух требований, среднее время до завершения очередного акта обслуживания вдвое меньше, чем при одном приборе. Таким образом, Если же то один прибор пустует, и Инфинитезимальная матрица этого процесса рождения и гибели имеет вид