Глава 10. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Математический анализ некоторых специальных классов случайных процессов развит весьма детально. Наиболее известен процесс броуновского движения, который исторически был первым среди досконально исследованных процессов. Мы лишь слегка коснемся некоторых из наиболее интересных его особенностей и надеемся вызвать у читателя интерес к элегантной и совершенной теории этого процесса.

Броуновское движение как физическое явление было открыто английским ботаником Броуном в 1827 году. Математическое описание этого явления было выведено из законов физики Эйнштейном в 1905 году. С тех пор в этой области отмечен значительный прогресс. Физическая теория была далее усовершенствована Смолуховским, Фоккером, Планком, Бюргером, Ферсом, Орнштейном, Уленбеком, Чандрасекаром, Крамерсом и другими. Математическая теория развивалась медленнее, потому что точное математическое описание модели связано с рядом трудностей, тогда как некоторые из вопросов, на которые физики получили ответы из данной модели, были весьма простыми и интуитивно ясными. Многие из ответов были получены эвристическим путем Башелье в его книге (1912 г.), тогда как первое математически четкое построение теории было дано Винером в его диссертации (1918 г.) и более поздних работах (см. ссылки в конце данной главы).

В терминах нашей общей классификации случайных процессов процесс броуновского движения является примером марковского процесса с непрерывным временем и непрерывным пространством состояний. Мы обсудим только одномерный случай.

Пусть положение частицы (как функция времени) в броуновском движении (см. стр. 22). Пусть положение частицы в момент т. е. условная плотность вероятности величины при условии, что Мы постулируем, что вероятностный закон, «управляющий» переходами, стационарен во времени (поскольку не зависит от начального момента

Поскольку плотность вероятности, то

Далее, предположим, что при малых с большой вероятностью находится вблизи точки Это достигается условием

Исходя из физических законов, Эйнштейн показал, что функция должна удовлетворять уравнению в частных производных

которое называется уравнением диффузии; является коэффициентом диффузии. Малые частицы совершают броуновское движение благодаря столкновениям с молекулами окружающих их газа или жидкости. Величина находится из формулы где газовая постоянная, температура, число Авогадро, коэффициент трения. Выбирая соответствующий масштаб, можно получить Тогда непосредственной проверкой устанавливаем, что функция

является решением уравнения (1.3), точнее единственным его решением, удовлетворяющим условиям (1.1) и (1.2). (Вопрос о единственности решения уравнения (1.3) должен быть сформулирован строго, а его анализ требует большой аккуратности и выходит за рамки данной книги. Прилежный читатель может обратиться к книге и Маккина, упомянутой в ссылках в конце главы.)

Другим подходом к (1.3) является аппроксимация с помощью дискретного случайного блуждания. Рассмотрим симметричное случайное блуждание на целочисленной решетке (см. пример Б, гл. 2, § 2). Пусть - вероятность того, что частица при случайном блуждании в момент оказывается на расстоянии справа от исходной точки Уравнение Колмогорова — Чэпмена (формула (3.2) гл. 2) принимает в этом случае вид

или

Слева стоит дискретный аналог производной по времени, а справа — с коэффициентом 1/2 — дискретный аналог второй

производной по пространственной переменной. Переходя соответствующим образом к пределу при одновременном стремлении времени между переходами и величины шага к нулю, можно получить (1.3) из (1.5).

В частности, пусть интервал времени между переходами равен а величина каждого шага равна Тогда аналог соотношения (1.5) имеет вид

Пусть теперь стремятся к 0 так, что сохраняется соотношение и в то же самое время пусть стремятся к так, чтобы Тогда и соотношение (1.6) формально переходит в (1.3).

Мы не будем пытаться проводить эту процедуру более строго. Это просто по существу, но требует довольно тонкого анализа.

При другом способе перехода к пределу используется центральная предельная теорема. Имеем

где последовательность исходов бросания симметричной монеты (т. е. , если выпал герб, и , если выпала решетка, причем вероятность каждого исхода равна 1/2). По центральной предельной теореме (см. гл. 1, § 1)

Предельное соотношение (1.6) и равенство (1.7) в сущности эквивалентны и связаны друг с другом «принципом инвариантности для случайных процессов». Приведенные эвристические выводы могут быть сделаны строгими, но это выходит за пределы данной книги.