§ 7. ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Для ветвящихся процессов, изучавшихся в § 1—6, время существования одного поколения было фиксировано. Хотя некоторые явления, в особенности экспериментальные испытания, удовлетворяют этому условию, более естественным представляется процесс с непрерывным временем. Поэтому описание ветвящихся процессов с непрерывным временем представляет несомненный интерес.

В данном параграфе мы исследуем структуру однородных по времени марковских ветвящихся процессов; в § 11 предположение о том, что процесс является марковским, будет снято. Определим марковский ветвящийся процесс с непрерывным временем, имеющий в качестве состояния число частиц в момент при условии, что через инфинитезимальные параметры процесса. Пусть

(см. § 4 гл. 7 и § 3 гл. 8) — вероятность того, что одна частица породит частиц (или объектов) за малый интервал длительности обозначает, как обычно, символ Кронекера. Предположим, что для и

Далее, постулируем, что отдельные частицы действуют независимо друг от друга и всегда «управляются» инфинитезимальными параметрами (7.1). Заметим, что при этом предполагается однородность по времени, поскольку не зависят от моментов превращения (или расщепления) частиц.

Другим способом выражения инфинитезимальных переходов является разбиение времени на участки, где не происходит превращений, и рассмотрение различных вариантов превращений. Так, каждый объект живет случайное экспоненциально распределенное время со средним значением

По завершении времени жизни он порождает случайное число потомков, представляющих из себя такие же объекты. Вероятностное распределение имеет вид

Время жизни и число потомков для отдельных индивидуумов — независимые случайные величины, и их распределения не меняются от индивидуума к индивидууму. Принимая во внимание предположения о независимости, в особенности то свойство, что отдельные индивидуумы действуют независимо друг от друга, можно (7.1) представить как инфинитезимальные переходные вероятности:

где

Мы уже имели дело с примером ветвящегося процесса с непрерывным временем, когда рассматривали процесс рождения и гибели. Действительно, если положить то величину можно интерпретировать как интенсивность наступления событий рождения и гибели; вероятность рождения (гибели) при условии, что какое-то из этих событий произошло. Так определенный случайный процесс, состоянием которого является размер популяции, есть не что иное, как процесс рождения и гибели с линейным ростом (см. гл. 7, § 6).

Как указано в гл. 8, задача построения марковского процесса, соответствующего заданной инфинитезимальной матрице, не является легкой. Еще более трудная задача — проверить, что построенный процесс имеет реализации, соответствующие предположениям для ветвящегося процесса, т. е. отдельные частицы порождают независимые семейства, потомки действуют независимо друг от друга и т. д. Мы не будем касаться анализа этого построения, так как он выходит за рамки данной книги. Более подготовленный читатель может эти вопросы найти в книге Харриса (см. литературу в конце данной главы); мы же сошлемся на § 3 гл. 8, где обсуждаются связи между марковскими процессами и инфинитезимальными матрицами.

Пусть (предположим, что всюду далее она определена корректно) — вероятность того, что размер популяции в момент равен при условии, что в момент 0 он был равен или Как показывает обозначение, эта вероятность зависит лишь от прошедшего времени, т. е. процесс

имеет стационарные переходные вероятности. Введем производящую функцию

Поскольку индивидуумы развиваются независимо, имеем основное соотношение (ср. со стр. 315)

Формула (7.6) характеризует ветвящиеся процессы и выделяет их среди других цепей Маркова с непрерывным временем. Она выражает то свойство, что различные индивидуумы (частицы) порождают независимые реализации процесса, где потомство одних индивидуумов не влияет на потомство других. Другими словами, популяция порожденная объектами, статистически совпадает в момент с суммой независимых популяций, каждая из которых порождена одним объектом.

В силу однородности по времени уравнения Колмогорова — Чэпмена имеют вид

С помощью (7.5), (7.6) и (7.7) получим

и, в частности,

Соотношение (7.8) является непрерывным аналогом итерационной формулы, введенной в § 2, которая является основной для ветвящихся процессов с дискретным временем. Введем производящую функцию инфинитезимальных параметров (7.1). Именно пусть

Проводимый ниже анализ является формальным. Рассмотрим

Из (7.8) при имеем

и, разлагая правую часть по второй переменной по формуле Тейлора, получаем

Тогда

Устремив h к 0, получим

Это уравнение в частных производных относительно функции двух переменных удовлетворяющей начальному условию

Если известна то уравнение (7.10) с начальным условием (7.11) можно решить относительно

Дифференциальное уравнение (7.10) является формой прямых дифференциальных уравнений Колмогорова, которые были свернуты в уравнение относительно производящей функции исходных переходных вероятностей.

Можно вывести второе дифференциальное уравнение относительно которое соответствует обратным уравнениям Колмогорова. Для этого положим в Получим

Вновь используем (7.9) и разложение Тейлора. Тогда

Это выражение можно переписать в виде

Устремляя и заменяя на получаем

Это обыкновенное дифференциальное уравнение. Начальное условие для него вновь (7.11). Позже будет показано, как можно эффективно решить уравнение (7.13).