Д. Производящие функции

Для случайных величин, которые могут принимать только неотрицательные целочисленные значения, вместо характеристической функции используется функция

называемая производящей. Так как по предположению функция определена по крайней мере для таких, что комплексная переменная), и бесконечно дифференцируема при

Отметим следующие элементарные свойства производящих функций.

(а) Если где независимы и могут принимать лишь неотрицательные целочисленные значения, то

производящая функция д. с. в. Y является произведением производящих функций слагаемых.

(б) Пусть независимые и одинаково распределенные неотрицательные целочисленные случайные величины, и пусть неотрицательная целочисленная д. с. в., не зависящая от Мы хотим найти производящую функцию (суммы случайного числа слагаемых, каждое из которых является д. с. в.). Пусть - производящая функция производящая функция, общая для всех Тогда

Имеет место следующее обобщение предыдущего результата. Пусть произвольные независимые одинаково распределенные случайные величины (необязательно целочисленные), а как и ранее, неотрицательная целочисленная и не зависящая от Тогда

где характеристическая и производящая функции соответственно, общая характеристическая функция

Рассматривая неотрицательные д. с. в., полезно заменить характеристические функции преобразованиями Лапласа функций распределения. Если распределение имеет плотность преобразование Лапласа определяется формулой

Интеграл в правой части существует для значений комплексной переменной таких, что Для чисто мнимых сводится к характеристической функции Для дискретных неотрицательных д. с. в. преобразование Лапласа определяется по формуле

Как и для характеристических функций, если неотрицательные независимые д. с. в., то

В случае общих функций распределения для преобразования Лапласа имеем формулу

Как и характеристическая функция, преобразование Лапласа однозначно определяет функцию распределения.