Б. Одномерные случайные блуждания

При рассмотрении случайных блужданий состояние системы для наглядности интерпретируют как положение движущейся «частицы».

Одномерное случайное блуждание представляет собой марковскую цепь, пространство состояний которой состоит из конечного или бесконечного множества целых чисел; если частица находится в состоянии I, то за один шаг она может либо перейти в одно из своих соседних состояний или , либо остаться в состоянии Если пространством состояний служит множество неотрицательных целых чисел, то матрица переходных вероятностей случайного блуждания имеет вид

где . Числа имеют следующий смысл: если то при

изменения для очевидны.

В пользу названия «случайное блуждание» для процесса такого типа говорит тот факт, что его реализация описывает путь «абсолютно пьяного» человека, делающего случайным образом шаг вперед или шаг назад.

Капитал игрока, участвующего в серии партий азартной игры, часто описывают процессом случайного блуждания. Предположим, что игрок А, имеющий капитал играет с бесконечно богатым партнером, при этом вероятность того, что он выиграет партию и увеличит свой капитал на единицу, равна а вероятность того, что он проиграет и тем самым уменьшит свой капитал на единицу, равна . Зависимость вероятностей выигрыша и проигрыша от отражает возможную зависимость условий игры от капитала. Так, можно условиться, что, оказавшись в состоянии О (соответствующем разорению игрока А), процесс остается в этом состоянии, т. е. Процесс где размер капитала игрока после партий, является процессом случайного блуждания. Этот процесс известен под названием «задачи о разорении игрока».

Случайное блуждание с соответствует одинаковым повторяющимся партиям; если то в каждой партии шансы игрока А явно предпочтительнее. В гл. 3 мы покажем, что в этом случае с вероятностью где его начальный капитал, игрок А разоряется (теряет свой капитал) и с вероятностью его капитал будет беспредельно возрастать. Если же то игра явно выгодна хозяевам игорного заведения, и почти наверное (с вероятностью 1) игрок А разорится, если будет играть достаточно долго. Игрок А обречен на разорение (с вероятностью 1) и в том случае, когда игра безобидна, т. е. когда

Если партнер, игрок тоже начинает игру, располагая ограниченным капиталом у, то капитал игрока А снова описывается марковской цепью Однако эта цепь имеет конечное множество состояний где начальные состояния игроков соответственно. Разность интерпретируется как капитал игрока Б после партий. Если среди исходов каждой партии допускается ничья, то матрица переходных вероятностей цепи имеет вид

Как и ранее, есть вероятность того, что игрок А, имея капитал увеличит (уменьшит) его на единицу в следующей партии. Отметим, что в соответствии с матрицей переходных вероятностей (2.3) капитал игрока А (состояние процесса), достигнув величины а или обратившись в 0, остается в этих состояниях навсегда. Мы говорим, что игрок А разорен, если процесс достиг состояния 0; если же процесс попадает в состояние а, то мы говорим, что разорен игрок

Случайные блуждания оказываются полезными не только для описания игровых ситуаций, но и служат неплохими моделями физических процессов, в частности диффузии частиц. Если частица претерпевает случайные столкновения, то ее положение подвержено случайным флуктуациям, хотя описываемая ею траектория непрерывна. Если будущее положение (точнее, его распределение вероятностей) частицы зависит только от ее настоящего положения, то процесс где положение частицы в момент является марковским. Дискретная аппроксимация такого непрерывного движения соответствует случайному блужданию. Симметричное случайное блуждание представляет собой классический дискретный аналог броуновского движения (см. § 2 гл. 1). Под симметричным случайным блужданием на множестве всех целых чисел подразумевается марковская цепь с пространством состояний, являющимся множеством всех целых чисел, с элементами матрицы переходных вероятностей вида

где . Обычно симметричным случайным блужданием называют марковскую цепь с

Исследование некоторых физических моделей приводит нас к рассмотрению случайных блужданий на множестве неотрицательных целых чисел. Можно дать классификацию таких процессов на основе свойств нулевого состояния. Пусть случайное блуждание описывается матрицей (2.2). Если (а значит, и ), то нулевое состояние обладает свойствами отражающего экрана. Всякий раз, когда частица достигает нулевого состояния, в результате следующего перехода она оказывается в состоянии 1. Это соответствует ситуации, когда в нуле находится упругая стенка и частица отскакивает от нее без каких-либо остаточных явлений.

Если то нулевое состояние ведет себя как поглощающий экран. Попав в нулевое состояние, частица остается

в нем навсегда. Если то нулевое состояние является частично отражающим экраном.

Если случайное блуждание ограничено конечным числом состояний, скажем оба крайних состояния 0 и а независимо и в любой комбинации могут быть отражающими, поглощающими или частично отражающими экранами. Мы уже имели дело со случаем, когда состояния 0 и а были поглощающими [см. (2.3)].

Классическую модель диффузии через мембрану представляет собой модель Эренфестов. Модель описывается как процесс случайного блуждания с конечным числом состояний причем крайние состояния — а и а являются отражающими экранами. Матрица переходных вероятностей задается следующим образом:

Физическая интерпретация этой модели такова. Имеется две урны содержащие вместе 2а шаров. Предположим, что урна А содержит шаров. При каждом испытании случайным образом выбирается один шар и перекладывается в другую урну; при этом каждый из шаров имеет равную со всеми остальными вероятность быть переложенным независимо от того, в какой урне он находится. Каждое испытание приводит к изменению состояния 1) системы. Характерным для перемещения шаров будет преимущественное направление от урны с большей концентрацией к урне с меньшей концентрацией. Модель Эренфестов в некоторых случаях можно использовать для исследования физических систем, находящихся под действием восстанавливающих сил, величина которых пропорциональна расстоянию от положения равновесия.

Классическое симметричное -мерное случайное блуждание определяется следующим образом. Пространством состояний процесса является целочисленная решетка в (n-мерном евклидовом пространстве), точки которой суть наборы из целых чисел вида Переходные вероятности определяются следующим образом:

Аналогично одномерному случаю -мерное симметричное случайное блуждание представляет собой дискретный аналог -мерного броуновского движения.