§ 2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Говорят, что цепь Маркова с непрерывным временем «консервативна», если

Заметим, что процесс рождения и гибели консервативен. Докажем теперь, что для консервативной цепи Маркова все не только дифференцируемы, если но и удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, известных как обратные уравнения Колмогорова. (Частный случай процесса рождения и гибели рассмотрен в гл. 7, § 5.) Напомним, однако, читателю, что дифференцируемость следует непосредственно из условий (а) - (г). Предположение о консервативности делает доказательство чрезвычайно простым. В самом деле,

Деля на и устремляя формально получаем обратные уравнения

Чтобы строго вывести эти уравнения, следует показать, что

Далее,

для любого и поэтому

С другой стороны, при

Деля на и беря от обеих частей, получаем

Устремляя и используя консервативность процесса, мы видим, что

Сравнивая это неравенство с (2.2), заключаем, что предел

существует и равен

Аналогичным образом можно формально вывести систему так называемых прямых уравнений. Запишем

Деля на и переходя к пределу при формально получаем прямые уравнения

Вопрос о справедливости этих уравнений существенно более сложен, чем для обратных уравнений, и мы его затрагивать не будем. Обе системы уравнений в матричных обозначениях принимают весьма простой вид. В самом деле, рассмотрим бесконечную матрицу элементы которой равны

и которая называется анфанитезимальной матрицей процесса. Обратные уравнения могут быть компактно записаны в виде следующего матричного дифференциального уравнения:

а прямые уравнения —

где