Глава 11. ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ

§ 1. ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Ветвящиеся процессы были введены в качестве примеров цепей Маркова в гл. 2, § 2. Существуют многочисленные примеры марковских ветвящихся процессов, которые возникают естественным образом в различных научных дисциплинах. Перечислим некоторые из наиболее интересных процессов.

(а) Электронные умножители. Электронный умножитель является устройством, усиливающим слабый поток электронов. На пути электронов, испускаемых источником, устанавливается ряд пластин. Каждый электрон, ударяясь о первую пластину, порождает случайное число новых электронов, которые в свою очередь ударяются о следующую пластину и в свою очередь порождают электроны и т.д. Пусть число исходных электронов, число электронов, испущенных первой пластиной благодаря соударению с исходными электронами. Вообще пусть число электронов, эмиттированных пластиной благодаря столкновению с электронами, испущенными пластиной. Последовательность случайных величин образует ветвящийся процесс.

(б) Нейтронная цепная реакция. При случайном столкновении с нейтроном ядро расщепляется. В результате деления испускается случайное число новых нейтронов. Каждый из этих вторичных нейтронов может бомбардировать другие ядра, производя случайное число новых нейтронов, и т. д. В этом случае первоначальное число нейтронов равно Первое поколение нейтронов включает все произведенные при делении, вызванном исходным нейтроном. Размер первого поколения является случайной величиной В общем случае размер поколения складывается из случайного количества нейтронов, произведенных при бомбардировках ядер нейтронами поколения.

(в) Выживание фамилий. Фамилию наследуют только сыновья. Предположим, что каждый индивидуум с вероятностью имеет потомков мужского пола. Далее, каждый индивидуум порождает поколения потомков. Можно исследовать распределение такой случайной величины, как число потомков

поколении, или определить вероятность того, что фамилия исчезнет. Такие вопросы будут изучаться в данной главе при общем анализе ветвящихся процессов.

(г) Выживание мутантных генов. Каждый отдельный ген имеет возможность породить «потомков», которые являются генами того же типа. Однако любой отдельный ген также может трансформироваться в другой тип, называемый мутантным геном, который может стать первым в последовательности поколений мутантных генов. Представляет интерес вероятность выживания мутантных генов в популяции исходных генов.

Все приведенные выше примеры имеют следующую структуру. Пусть размер исходной популяции. Каждый индивидуум независимо от других порождает новых индивидуумов с вероятностью где

Общее количество всех прямых потомков индивидуумов исходной популяции образует первое поколение, размер которого мы обозначим через Каждый индивидуум первого поколения вновь независимым образом порождает потомство в соответствии с распределением (1.1). Общее количество всех потомков образует второе поколение размера Вообще поколение складывается из потомков поколения, каждый из членов которого независимо порождает потомков с вероятностью Размер популяции поколения обозначается через Величины образуют последовательность целочисленных случайных величин, связанных в цепь Маркова.